06-10-20
19:56
Αφού λέμε αποδείξεις για την γενικη ανισοτητα ας πω κιεγώ τη δική μου όπως τη σκέφτηκα. Ορίζω γωνία y τέτοια ώστε ημy/συνy= β/α ( α,β>0)
Έχουμε αημχ + βσυνχ =(συνyημχ + ημyσυνχ) * α/συνy => αημχ + βσυνχ= ημ(x+y) *α/συνy( σχεση 1).Αντικαθιστώ στη σχέση ημ^2y+ συν^2y= 1 και παίρνω (β/α * συνy)^2 + συνy^2 =1 => (συνy)^2(α^2 + β^2)/α^2= 1 =>συν^2y = α^2/(α^2 + β^2). Άρα συνy= α/ριζα(α^2 + β^2) και ημy = β/ριζα(α^2 + β^2). Αντικαθιστώ στην σχέση 1 και παίρνω: αημχ + βσυνχ = ημ(χ + y) * α/(α/ριζα(α^2+β^2)) = ριζα(α^2 + β^2) * ημ( χ + y) με y= arctan β/α. Είναι προφανές πλέον ότι η μέγιστη τιμή που παίρνει η παράσταση ριζα(α^2 + β^2) *ημ( χ + y) είναι η ρίζα(α^2 + β^2).Μπορώ βέβαια να δείξω το ίδιο και αν πάρω συνημίτονο και ημίτονο αρνητικά μόνο που θα προκύψει η ίδια παράσταση με ενα - μπροστά. Αν και μπορώ απλά να θεωρήσω τα ημy και συνy θετικά απο την αρχή. Φαντάζομαι αυτή είναι η "απευθείας" απόδειξη που ανέφερε ο Μάρκος Βασίλης;
Έχουμε αημχ + βσυνχ =(συνyημχ + ημyσυνχ) * α/συνy => αημχ + βσυνχ= ημ(x+y) *α/συνy( σχεση 1).Αντικαθιστώ στη σχέση ημ^2y+ συν^2y= 1 και παίρνω (β/α * συνy)^2 + συνy^2 =1 => (συνy)^2(α^2 + β^2)/α^2= 1 =>συν^2y = α^2/(α^2 + β^2). Άρα συνy= α/ριζα(α^2 + β^2) και ημy = β/ριζα(α^2 + β^2). Αντικαθιστώ στην σχέση 1 και παίρνω: αημχ + βσυνχ = ημ(χ + y) * α/(α/ριζα(α^2+β^2)) = ριζα(α^2 + β^2) * ημ( χ + y) με y= arctan β/α. Είναι προφανές πλέον ότι η μέγιστη τιμή που παίρνει η παράσταση ριζα(α^2 + β^2) *ημ( χ + y) είναι η ρίζα(α^2 + β^2).Μπορώ βέβαια να δείξω το ίδιο και αν πάρω συνημίτονο και ημίτονο αρνητικά μόνο που θα προκύψει η ίδια παράσταση με ενα - μπροστά. Αν και μπορώ απλά να θεωρήσω τα ημy και συνy θετικά απο την αρχή. Φαντάζομαι αυτή είναι η "απευθείας" απόδειξη που ανέφερε ο Μάρκος Βασίλης;
06-10-20
14:51
Ένας άλλος τρόπος να το δεις είναι να γράψεις το ημχ + συνχ ως ριζα2*ημ(χ + π/4) με βάση την ταυτοτητα ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ. Έτσι προκύπτει και η περιοδικότητα αλλά και μια πολύ πιο βολική μορφή για την επίλυση εξισώσεων