Earendil
Νεοφερμένος
Ο Earendil αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 22 ετών. Έχει γράψει 77 μηνύματα.
25-04-20
12:08
Ναι, συμβαίνουν αυτά. Γενικά, σαν rule of thumb, να έχεις κατά νου ότι το αντίθετο του «για κάθε» είναι το «υπάρχει» και, αντίστροφα, το αντίθετο του «υπάρχει» είναι το «για κάθε».
Thanks for the tip!
Earendil
Νεοφερμένος
Ο Earendil αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 22 ετών. Έχει γράψει 77 μηνύματα.
24-04-20
14:25
Δεν ξέρω αν το έγραψε κάποιος πιο πάνω αλλά εδώ παραθέτω μια λύση καταλήγωντας σε άτοπο
Έστω λοιπόν οτι η συνάρτηση δεν είναι 1-1 τοτε:
για κάθε x1,x2ER με x1<>x2 ισχυει f(x1)=f(x2)
Αν υποθέσουμε πως χ1<χ2 (χωρίς βλάβη της γενικότητας) τότε για την F θα ισχύουν οι προυποέσεις του Rolle στο διάστημα [x1,x2] (εφόσον συνεχής ως παραγωγίσιμη κτλ κτλ...) και f(x1)=f(x2)
Επομένως θα υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0 το οποίο είναι άτοπο αφού f'(x)<>0 για κάθε xER
Άρα f(x1)<>f(x2) που σύμφωνα με τον αρχίκο ορίσμο 1-1 όταν ίσχυει για μια συνάρτηση F πως x1<>x2 <=> f(x1)<>f(x2) τότε αυτή θα είναι 1-1 => αποδείχθηκε
Έστω λοιπόν οτι η συνάρτηση δεν είναι 1-1 τοτε:
για κάθε x1,x2ER με x1<>x2 ισχυει f(x1)=f(x2)
Αν υποθέσουμε πως χ1<χ2 (χωρίς βλάβη της γενικότητας) τότε για την F θα ισχύουν οι προυποέσεις του Rolle στο διάστημα [x1,x2] (εφόσον συνεχής ως παραγωγίσιμη κτλ κτλ...) και f(x1)=f(x2)
Επομένως θα υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f'(ξ)=0 το οποίο είναι άτοπο αφού f'(x)<>0 για κάθε xER
Άρα f(x1)<>f(x2) που σύμφωνα με τον αρχίκο ορίσμο 1-1 όταν ίσχυει για μια συνάρτηση F πως x1<>x2 <=> f(x1)<>f(x2) τότε αυτή θα είναι 1-1 => αποδείχθηκε