ξαροπ
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο Ιάσων αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 29 ετών, Φοιτητής και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 1,575 μηνύματα.
15-11-10
00:33
Λοιπόν, προτίμησα αρχικά να μην "μιλήσω" για όποιον φιλόδοξο ήθελε να την προσπαθήσει, αλλά τελικά θα πω κάποια πραγματάκια για να μην παιδευόμαστε τζάμπα - όποιος θέλει να την προσπαθήσει φυσικά μπορεί να παραβλέψει τα παρακάτω και να συνεχίσει την προσπάθεια! Ίσα-ίσα η συζήτηση των λύσεων είναι πιστεύω από τα καλύτερα σημεία ενός προβλήματος-
Αρχικά Μαρία κάποιο σφάλμα βλέπω στη λογική της απόδειξής σου και θα προσπαθήσω να το εξηγήσω. Έτσι κι αλλιώς κάτι πρέπει να είναι λάθος αφού το γεγονός των 15 μοιρών δεν το χρησιμοποιήσες, ούτε άμεσα ούτε έμμεσα! Δηλαδή όποια γωνία και να σχηματίζεται, το τρίγωνο θα είναι ισόπλευρο? Μπορείς εύκολα να δεις ότι δεν ισχύει παίζοντας και με το geogebra.
Εδώ νομίζω ότι το πράμα σηκώνει συζήτηση. Κατ' αρχήν είναι γνωστό ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, τα τρίγωνα που σχηματίζονται όταν φέρουμε τη διχοτόμο προς τη βάση του είναι ίσα (όπως αποδεικνύεις), αλλά στην περίπτωσή μας δεν μας βγάζει κάπου αυτό. Από πουθενά δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι ΔΓ = ΟΓ = ΟΔ, το μόνο που μπορείς να πεις ως τώρα είναι ΟΓ = ΟΔ. Είναι σαν να λες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο είναι και ισόπλευρο. Επίσης, όταν λες "Το τρίγωνο ΟΔΓ έχει [τάδε] άρα από το κριτήριο Π-Π-Π έχει όλα τα στοιχεία του ίσα"...ποιο είναι το δεύτερο τρίγωνο με το οποίο συγκρίνεις το ΟΓΔ? Να θυμίσουμε ότι αυτά τα κριτήρια ισχύουν μεταξύ δυο τριγώνων, όχι ενός τριγώνου με τον εαυτό του (είναι προφανές ότι κάθε τρίγωνο είναι ίσο με τον εαυτό του ).
(και ένα σχόλιο γενικότερα: εύκολα τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα. Το θέμα είναι να αποδείξετε ότι είναι και ισοσκελή (βλέπετε το γιατί?), το οποίο δεν μπορείτε να το συμπεράνετε από την ισότητά τους)
Ελπίζω να βρέθηκε κάποια άκρη, αλλιώς το ξαναλέμε.
Για την ιστορία, έχει ξανασυζητηθεί εδώ, αφού θυμάμαι μια τριγωνομετρική λύση του προβλήματος, αλλά δεν μπόρεσα να βρω κάτι μια και τα περισσότερα μέλη που δημοσίευαν τότε έχουν κλείσει τους λογαριασμούς τους.
Πάντως (σαν shameless self-promotion) δείτε εδώ : https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=4998
Όπως θα δείτε, το πρόβλημα έχει μεγάλη ιστορία και δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται...παρουσιάζονται εκεί και δυο λύσεις που έχουν γραφτεί στο βιβλίο του κ. Μπάμπη Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου [σελ.114, Πρόβλημα 7.4] αλλά ως άσκηση υπάρχει και στο (εκπληκτικό) Geometry Revisited, των Coxeter & Greitzer [pg.25, Problem 2]. Σίγουρα θα υπάρχει και σε πάμπολλα άλλα βιβλία αλλά δεν μου έρχεται κάτι άλλο για την ώρα.
Το προκλητικό ερώτημα είναι πόσες λύσεις μπορεί κανείς να βρει για αυτό το πρόβλημα?
Αρχικά Μαρία κάποιο σφάλμα βλέπω στη λογική της απόδειξής σου και θα προσπαθήσω να το εξηγήσω. Έτσι κι αλλιώς κάτι πρέπει να είναι λάθος αφού το γεγονός των 15 μοιρών δεν το χρησιμοποιήσες, ούτε άμεσα ούτε έμμεσα! Δηλαδή όποια γωνία και να σχηματίζεται, το τρίγωνο θα είναι ισόπλευρο? Μπορείς εύκολα να δεις ότι δεν ισχύει παίζοντας και με το geogebra.
Τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ έχουν:
Άρα τα τρίγωνα σύμφωνα με το κριτήριο Πλευρά-Γωνία-Πλευρά είναι ίσα,άρα ΟΔ=ΟΓ.Επομένως το τρίγωνο ΔΟΓ είναι ισοσκελές λόγω των προσκείμενων πλευρών στν βάση(ΟΔ=ΟΓ).Ακόμα στο ισοσκέλες τρίγωνο ΔΟΓ η Δ1=Γ1.
- ΑΔ=ΒΓ
- ΑΟ=ΟΒ
- Α2=Β2(επειδή Α1=Β1 προκειπτει οτι Α-Α1=Α2 και Β-Β1=Β2 οπού Α2=Β2)
Μετά τράβηξε τη διχοτόμο από την κορυφή Ο και ονόμασε την ΟΖ.Όπως είναι γνωστό σε ένα ισοσκελές τρίγωνο το ύψος,η διχοτόμος και η διάμεσος είναι η ίδια.Το τρλιγωνο τώρα χωρίστηκε σε δύο ορθογώνια τρίγωνα το ΟΔΖ και το ΟΓΖ.
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΔΖ και ΟΓΖ έχουν:
Άρα αυτά τα 2 ορθογώνια τρίγωνα ΟΔΖ και ΟΓΖ είναι ίσα γιατί έχουν την υποτείνουσα ίση και μία γωνία ίση.
- ΟΔ=ΟΓ(όπως αποδείχτηκε στο παραπάνω ερώτημα)
- Ο1=Ο2(γιατί η διχοτόμος ΟΖ χωρίζει την γωνία Ο σε δύο ίσες γωνίες)
Επομένως και το τρίγωνο ΟΔΓ έχει
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο Πλευρά-Πλευρά-Πλευρά,το τρίγωνο ΟΔΓ έχει όλα τα στοιχεία του ίσα.Επομένως είναι και ισόπλευρο γιατί ΟΔ=ΟΓ=ΔΓ.
- ΟΔ
- ΟΓ
- ΔΓ(προκύπτει από ΔΖ=ΓΖ,άρα το άθροισμα αυτών των πλευρών δίνει την πλευρά ΔΓ)
Ελπίζω να σε βοήθησα.
Εδώ νομίζω ότι το πράμα σηκώνει συζήτηση. Κατ' αρχήν είναι γνωστό ότι σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, τα τρίγωνα που σχηματίζονται όταν φέρουμε τη διχοτόμο προς τη βάση του είναι ίσα (όπως αποδεικνύεις), αλλά στην περίπτωσή μας δεν μας βγάζει κάπου αυτό. Από πουθενά δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι ΔΓ = ΟΓ = ΟΔ, το μόνο που μπορείς να πεις ως τώρα είναι ΟΓ = ΟΔ. Είναι σαν να λες ότι κάθε ισοσκελές τρίγωνο είναι και ισόπλευρο. Επίσης, όταν λες "Το τρίγωνο ΟΔΓ έχει [τάδε] άρα από το κριτήριο Π-Π-Π έχει όλα τα στοιχεία του ίσα"...ποιο είναι το δεύτερο τρίγωνο με το οποίο συγκρίνεις το ΟΓΔ? Να θυμίσουμε ότι αυτά τα κριτήρια ισχύουν μεταξύ δυο τριγώνων, όχι ενός τριγώνου με τον εαυτό του (είναι προφανές ότι κάθε τρίγωνο είναι ίσο με τον εαυτό του ).
(και ένα σχόλιο γενικότερα: εύκολα τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ είναι ίσα. Το θέμα είναι να αποδείξετε ότι είναι και ισοσκελή (βλέπετε το γιατί?), το οποίο δεν μπορείτε να το συμπεράνετε από την ισότητά τους)
Ελπίζω να βρέθηκε κάποια άκρη, αλλιώς το ξαναλέμε.
Για την ιστορία, έχει ξανασυζητηθεί εδώ, αφού θυμάμαι μια τριγωνομετρική λύση του προβλήματος, αλλά δεν μπόρεσα να βρω κάτι μια και τα περισσότερα μέλη που δημοσίευαν τότε έχουν κλείσει τους λογαριασμούς τους.
Πάντως (σαν shameless self-promotion) δείτε εδώ : https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=4998
Όπως θα δείτε, το πρόβλημα έχει μεγάλη ιστορία και δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται...παρουσιάζονται εκεί και δυο λύσεις που έχουν γραφτεί στο βιβλίο του κ. Μπάμπη Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών Γ' Γυμνασίου [σελ.114, Πρόβλημα 7.4] αλλά ως άσκηση υπάρχει και στο (εκπληκτικό) Geometry Revisited, των Coxeter & Greitzer [pg.25, Problem 2]. Σίγουρα θα υπάρχει και σε πάμπολλα άλλα βιβλία αλλά δεν μου έρχεται κάτι άλλο για την ώρα.
Το προκλητικό ερώτημα είναι πόσες λύσεις μπορεί κανείς να βρει για αυτό το πρόβλημα?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.