Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

vassilakos · 14-08-12

Αντε να βαλω και μια πανω στις συναρτησεις.....για να αναψουν τα αιματα.....

!!!!
1]Δινεται η συναρτηση $f(x)=\frac{1+e^x}{1+{e}^{x+1}}$
(i)Να βρεθει το πεδιο ορισμου της f
(ii)Να μελετηθει η f ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα
(iii)Να λυθει η εξισωση $\frac{1+{e}^{5^x}}{1+{e}^{5^x+1}}-\frac{1+{e}^{6^x}}{1+{e}^{6^x+1}} =\frac{1+{e}^{8^x}}{1+{e}^{8^x+1}}-\frac{1+{e}^{7^x}}{1+{e}^{7^x+1}}$

2]Δινεται η συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$ ...για την οποια ισχυει οτι:
$\bullet f \;\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \; \alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha$
$\bullet\; \left|z-i \right|f(x)+\left|z+i \right|f(1-x)=\left|z-i \right|+\left|z+i \right|,\; z\epsilon C^*$
(i)Να δειχθει οτι ο z ειναι πραγματικος αριθμος

(ii)Να βρεθει για ποια χ ισχυει οτι $f(x)> 1$
(iii)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{1}f(x)\;dx=1$
(iv)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{2x}f(t)\;dt+xf(x)=1$

Y.Γ: Η δευτερη ασκηση ειναι απο διαγωνισμα ΠΑΛΟΥΚΙ στο σχολειο

!!!!!

Mr.Blonde · 14-08-12

Λιγο νωρις για ολοκληρωματα ,δεν νομιζεις;

vassilakos · 14 Αυγούστου 2012

Μα δεν ειναι για προετοιμασία οι ασκησεις εδω....αλλα για "συλλογη"....Εξ' αλλου οποια ερωτηματα θελει κανει ο καθενας....και η πρωτη ασκηση δεν εχει ολοκληρωματα!!!

Demlogic · 19-08-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
Αντε να βαλω και μια πανω στις συναρτησεις.....για να αναψουν τα αιματα.....!!!!
1]Δινεται η συναρτηση $f(x)=\frac{1+e^x}{1+{e}^{x+1}}$
(i)Να βρεθει το πεδιο ορισμου της f
(ii)Να μελετηθει η f ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα
(iii)Να λυθει η εξισωση $\frac{1+{e}^{5^x}}{1+{e}^{5^x+1}}-\frac{1+{e}^{6^x}}{1+{e}^{6^x+1}} =\frac{1+{e}^{8^x}}{1+{e}^{8^x+1}}-\frac{1+{e}^{7^x}}{1+{e}^{7^x+1}}$

2]Δινεται η συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$ ...για την οποια ισχυει οτι:
$\bullet f \;\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \; \alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha$
$\bullet\; \left|z-i \right|f(x)+\left|z+i \right|f(1-x)=\left|z-i \right|+\left|z+i \right|,\; z\epsilon C^*$
(i)Να δειχθει οτι ο z ειναι πραγματικος αριθμος
(ii)Να βρεθει για ποια χ ισχυει οτι $f(x)> 1$
(iii)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{1}f(x)\;dx=1$
(iv)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{2x}f(t)\;dt+xf(x)=1$

Y.Γ: Η δευτερη ασκηση ειναι απο διαγωνισμα ΠΑΛΟΥΚΙ στο σχολειο!!!!!

1]
i) R
ii) f φθινουσα παντου
iii) ειναι f(5x)-f(6x)=f(8x)-f(7x)
ή f(5x)+f(7x)=f(8x)+f(6x)

προφανης λυση το x=0
για x>0 , 5x<6x => f(5x)>f(6x)
και 7x<8x => f(7x)>f(8x)
αρα f(7x)+f(5x)>f(8x)+f(6x) αρα δεν υπαρχει καμια λυση στο (0,+οο)

για x<0, 5x>6x => f(5x)<f(6x)
και 7x>8x => f(7x)<f(8x)
αρα f(7x)+f(5x)<f(8x)+f(6x) αρα δεν υπαρχει καμια λυση στο (-οο,0)

Και σε λιγο βαζω και την δευτερη

vassilakos · 19-08-12

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
1]
i) R
ii) f φθινουσα παντου
iii) ειναι f(5x)-f(6x)=f(8x)-f(7x)
ή f(5x)+f(7x)=f(8x)+f(6x)

προφανης λυση το x=0
για x>0 , 5x<6x => f(5x)>f(6x)
και 7x<8x => f(7x)>f(8x)
αρα f(7x)+f(5x)>f(8x)+f(6x) αρα δεν υπαρχει καμια λυση στο (0,+οο)

για x<0, 5x>6x => f(5x)<f(6x)
και 7x>8x => f(7x)<f(8x)
αρα f(7x)+f(5x)<f(8x)+f(6x) αρα δεν υπαρχει καμια λυση στο (-οο,0)

Και σε λιγο βαζω και την δευτερη

Μμπραβοοοο.... :clapup:

!!!!

f(f(chris)) · 23-08-12

Παίδες.....ΚΟΥΡΑΓΙΟ σε όλους εμάς που δίνουμε το 2013(αντε να δουμε)....Εχω μια απορία στα όρια Κατεύθυνσης....Άμα έχει κάποιος το βοήθημα ΝΑΚΗΣ-ΣΤΕΡΓΙΟΥ ..μήπως ξέρει πως να λύσω την 7.40...γιατί νομίζω ότι παιδεύομαι αδικα εδώ κ 1 2ωρο.....ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ....

!!!

paokara123 · 25-08-12

οποιος μπορει να λυση αυτη θα του ειμαι ευγνωμων..τωρα μπηκαμε μιγαδικους και ψηλομπερδευομαι...ΚΑΛΥΤΕΡΕΣ ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Αν w,u eC και w*wσυζηγη=υ*υσυζηγη=1 να δειξετε οτι ο μιγαδικος ζ = (w^2 - u^2) / (1+ w^2*u^2) ειναι φανταστικος. α^2 σημαινει στο τετραγωνο

αδαμαντια52071 · 25-08-12

To αστερακι τι σημαινει ?Επι ?

paokara123 · 25-08-12

ναι

αδαμαντια52071 · 25 Αυγούστου 2012

Κατσε ρε παοκαρα μου να καταλαβω.Στο μηγαδικο ζ υπαρχει συζηγης w ή u?

Λοιπον για να δειξεις οτι ζ φανταστικος αρκει να δ.ο
ζ(συζηγης)=-ζ

Θα πας με ισοδυναμιες και μαλλον καπου θα χρειαστεις να κανεις καμοια τριπλα με το δεδομενο που σου δινει ( οτι ουσιαστικα |w|=|U|=1)

Λοιπον φιλε μου ελυσα την ασκηση και ...

1)πας οπως σου ειπα με ισοδυναμιες στην σχεση ζ(συζηγης)=-ζ
2)περνας την παυλα και κανεις χιαστι και μετα πραξεις (επιμεριστικες)
3)θα δεις οτι υπαρχουν πολλα w και w(συζηγη)στην ταταρτη (ομοια και u).Αυτα ειναι ουσιαστικα το |w| στην τεταρτη που κανει ενα (ομοια και |U| τεταρτη κανει ενα)
4)αφου το κανεις αυτο θα δεις οτι ολα φευγουν και καταληγεις 0=0
Εχοντας παει τοση ωρα με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ κατεληξες σε κατι που ισχυει.
Αρα οντως ο ζ ειναι φανταστικος!

paokara123 · 26-08-12

ευχαριστω αδαμαντια αλλα την ελυσα πιο ευκολα!! να σαι καλα! ΓΡΑΦΩ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ

w*w(συζηγη) <=> w(συζηγη) = 1/w

και u*u(συζηγη) <=> u(συζηγη) = 1/u

z = (w^2 - u^2) / (1+w^2*u^2) ΟΠΟΤΕ ΠΡΕΠΕΙ Z = - Z(συζηγη)

Zσυζηγη = (W^2συζηγη - U^2συζηγη) / (1 + w^2συζηγη * u^2συζηγη)

αντικαθηστουμε οπου w,u συζηγη τις πανω σχεσεις 1/w, 1/u και καταληγουμε οτι z= - zσυζηγη

Demlogic · 26-08-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
Αντε να βαλω και μια πανω στις συναρτησεις.....για να αναψουν τα αιματα.....!!!!
1]Δινεται η συναρτηση $f(x)=\frac{1+e^x}{1+{e}^{x+1}}$
(i)Να βρεθει το πεδιο ορισμου της f
(ii)Να μελετηθει η f ως προς την μονοτονια και τα ακροτατα
(iii)Να λυθει η εξισωση $\frac{1+{e}^{5^x}}{1+{e}^{5^x+1}}-\frac{1+{e}^{6^x}}{1+{e}^{6^x+1}} =\frac{1+{e}^{8^x}}{1+{e}^{8^x+1}}-\frac{1+{e}^{7^x}}{1+{e}^{7^x+1}}$

2]Δινεται η συνεχης συναρτηση $f:R\rightarrow R$ ...για την οποια ισχυει οτι:
$\bullet f \;\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \; \alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha$
$\bullet\; \left|z-i \right|f(x)+\left|z+i \right|f(1-x)=\left|z-i \right|+\left|z+i \right|,\; z\epsilon C^*$
(i)Να δειχθει οτι ο z ειναι πραγματικος αριθμος
(ii)Να βρεθει για ποια χ ισχυει οτι $f(x)> 1$
(iii)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{1}f(x)\;dx=1$
(iv)Να αποδειξετε οτι $\int_{0}^{2x}f(t)\;dt+xf(x)=1$

Y.Γ: Η δευτερη ασκηση ειναι απο διαγωνισμα ΠΑΛΟΥΚΙ στο σχολειο!!!!!

με αμφιβολιες παραθετω την λυση μου.
2]

α) θετω |z-i|=αΕR , |z+i|=βER
και εχω
α f(x) + β f(1-x) = α+β (1)
στην συνεχεια θετω 1-x=u και εχω
α f(1-u) + β f(u)= α+β
αλλαζω την μεταβλητη σε x και γινεται
α f(1-x) + β f(x) = α + β (2)
αφαιρω κατα μελη τις (1) , (2) και εχω
α f(x) - α f(1-x) + β f(1-x) - β f(x) = 0 <=>
α ( f(x) - f(1-x) ) - β ( f(x) - f(1-x) ) =0 <=>
(α-β) ( f(x) - f(1-x) ) = 0 (3)

αν f(x)-f(1-x)=0 τοτε f(x)=f(1-x) τοτε x=1/2 αφου f 1-1
αρα για x≠1/2 ειναι και f(x)-f(1-x)≠0
οποτε απο την σχεση (3) για x≠1/2 εχω
α=β αρα |z-i|=|z+i| και με λιγες πραξεις z=z' οπου z' ο συζυγης του z αρα zER
ομως επειδη ο μιγαδικος z δεν ειναι συναρτηση του x θα ισχυει για καθε xER οτι zER και |z-i|=|z+i|

β) απεδειξα οτι ειτε |z-i|=|z+i| και αφου zEC* z≠0
αρα η αρχικη γινεται
f(x)+f(1-x)=1+1
f(x)+f(1-x)=2 (4)

για x=1/2 , 2f(1/2)=2 => f(1/2)=1

αρα f(x)>1 => f(x) > f(1/2) => x>1/2

γ) βαζωντας ολοκληρωμα στην (4) με τα απαιτουμενα ακρα, σπαζωντας το ενα ολοκληρωμα και κανωντας αλλαγη μεταβλητης βγαινει το αλλο ολοκληρωμα και με λιγες πραξεις βγαινει, ας το κανουν οι μικροι

δ) για x=0 εχω 0=1 αδυνατο να το αποδειξεις :-P

DimitrisMat · 29-08-12

Γειά σας,
αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει σε αυτή την απλή άσκηση γιατί έχω να πιάσω μαθηματικά κάποια χρόνια και δεν είμαι σίγουρος αν κάνω σωστά τα βήματα.

Δίνεται η f(x)= x^3 + y^2 + xy + 5y -5x +1
Α) Να υπολογίσετε την πρώτη μερική παράγωγο ως προς χ και την πρώτη μερική παράγωγο ως προς y στο (1,2). Επίσης να υπολογίσετε τη δεύτερη μερική παράγωγο ως προς χ και τη δεύτερη μερική παράγωγο ως προς y στο (1,2).
Β) υπολογίστε τη δεύτερη μερική μικτή παράγωγο ως προς χ και y στο (1,2) και τη δεύτερη μερική μικτή παράγωγο ως προς y και χ στο (1,2).
Γ) εξετάστε αν στο σημείο (1,2) η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο.

Demlogic · 29-08-12

Αρχική Δημοσίευση από DimitrisMat:
Γειά σας,
αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει σε αυτή την απλή άσκηση γιατί έχω να πιάσω μαθηματικά κάποια χρόνια και δεν είμαι σίγουρος αν κάνω σωστά τα βήματα.

Δίνεται η f(x)= x^3 + y^2 + xy + 5y -5x +1
Α) Να υπολογίσετε την πρώτη μερική παράγωγο ως προς χ και την πρώτη μερική παράγωγο ως προς y στο (1,2). Επίσης να υπολογίσετε τη δεύτερη μερική παράγωγο ως προς χ και τη δεύτερη μερική παράγωγο ως προς y στο (1,2).
Β) υπολογίστε τη δεύτερη μερική μικτή παράγωγο ως προς χ και y στο (1,2) και τη δεύτερη μερική μικτή παράγωγο ως προς y και χ στο (1,2).
Γ) εξετάστε αν στο σημείο (1,2) η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο.

Παροτι ειναι εκτος υλης, αυτο που γνωριζω ειναι οτι η συναρτηση αυτη που δινεις ειναι δυο μεταβλητων και συμβολιζεται f(x,y) αντι για f(x), στην συνεχεια οταν θες να βρεις την μερικη παραγωγο της ως προς x, αντιμετωπιζεις το y ως αριθμο που η παραγωγος του ειναι ιση με 0 και παραγωγιζεις με τους βασικους κανονες παραγωγισης. Αντιστοιχα οταν παραγωγισεις ως προς y θεωρεις το x εναν αριθμο και η παραγωγος του ειναι 0

Οταν θες τις παραγωγους αυτες ως προς το σημειο (1,2) βαζεις αντιστοιχα στο x=1 και στο y=2 στις παραγωγημενες συναρτησεις.

Β) Στις μικτες παραγωγους νομιζω παραγωγιζεις ταυτοχρονα x,y αλλα δεν ειμαι σιγουρος για πιθανες λεπτομερειες που πρεπει να ξερεις

Γ) και εδω το θεμα ξεφευγει απο την υλη μας, αποτι γνωριζω για να εχει μια συναρτηση πολλων μεταβλητων ακροτατο στο (1,2) αρκει οι τιμες x=1 και y=2 να ειναι οι λυσεις του συστηματος df/dx=0 και df/dy=0

μολις μπω ΗΜΜΥ θα ειμαι σε θεση να σου πω περισσοτερα :clapup:

akis95 · 29-08-12

εδω για μερικες παραγωγους https://www.physics.ntua.gr/~cchrist/SIMEIOSEIS/MATH.SYMPL.2003.PDF/KEFALAIO 03 .pdf θα ηταν ωραιο οτι ξερεις να το χρησιμοποιεις στις πανελληνιες...

Mercury · 01-09-12

Ασκηση 18 Σελίδα 30 Βοήθημα Μαθηματικών Κατ. Μπάρλας Τεύχος Α

$S=i+{i}^{2}+{i}^{3}+...+{i}^{22}$
$S={i}^{3}-{i}^{4}+{i}^{5}-...+{i}^{2\nu +1}$
$S=i\times {i}^{2}\times {i}^{3}\times ...\times {i}^{18}$

Πέρα απο τον απλό τρόπο,να τα κάνω όλα ένα ένα,υπάρχει κάποιος πιό εύκολος τρόπος;
Ειδικά το δεύτερο δεν ξέρω πώς να το λύσω :/:

vassilakos · 01-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Mercury:
Ασκηση 18 Σελίδα 30 Βοήθημα Μαθηματικών Κατ. Μπάρλας Τεύχος Α

$S=i+{i}^{2}+{i}^{3}+...+{i}^{22}$

$S={i}^{3}-{i}^{4}+{i}^{5}-...+{i}^{2\nu +1}$

$S=i\times {i}^{2}\times {i}^{3}\times ...\times {i}^{18}$

Πέρα απο τον απλό τρόπο,να τα κάνω όλα ένα ένα,υπάρχει κάποιος πιό εύκολος τρόπος;
Ειδικά το δεύτερο δεν ξέρω πώς να το λύσω

Κανε μια αναδρομη στο παρελθον και στην Υλη της Αλγεβρας της Β Λυκειου στις προοδους και θα με θυμηθεις!!!!

angelinazv · 01-09-12

Να υπολογιστει S= 1+ 2i + 3i ^2 +4i^3 + ... + 103i ^102

τι ειδους προοδος ειναι ? πως λυνετε ? :/:

ευχαριστω προκαταβολικα !

papas · 01-09-12

Αρχική Δημοσίευση από Dhmh:
θετικοτεχνολογικοπαιδα με τις αποδειξεις τι κανετε??(μαθηματικα)

Οι αποδείξεις είναι εύκολες. Μην αγχώνεσαι.

Θα τις μαθαίνεις κατά την διάρκεια της προετοιμασίας, ώστε να ξέρεις τι παίζει με κάθε μία και στο τελευταίο διήμερο πριν δώσεις, τις κάνεις μια επανάληψη.

vassilakos · 01-09-12

Αρχική Δημοσίευση από akis95:
εδω για μερικες παραγωγους https://www.physics.ntua.gr/~cchrist/SIMEIOSEIS/MATH.SYMPL.2003.PDF/KEFALAIO 03 .pdf θα ηταν ωραιο οτι ξερεις να το χρησιμοποιεις στις πανελληνιες...

Μπορεις....εξ' αλλου το λεει κιολας στο τελοσ του καθε γραπτου οτι "Καθε αποψη επιστημονικά τεκμηριομένη θεωρηται αποδεκτη".....αρκει Ο,ΤΙ εξωσχολικο ξερεις και θες να το χρησιμοποιησεις ,να το αποδεικνυεις ΠΛΗΡΩΣ,....(μου το ειπε η μαθηματικος μου οτι γινεται!!!!).....αλλα ειναι εξαιρετικα επιφοβο!!!!

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Δραστήριο μέλος

Επιφανές μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος