Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Mr.Blonde · 15-07-12

Αρχική Δημοσίευση από Keratz:
Αρκετες ασκησεις τις βλεπω λιγο ανεβασμενες.Μην τρελαινεστε!Δε ζητανε και ΤΡΕΛΑ πραγματα στις εξετασεις τουλαχιστον μιγαδικους...να χρησιμοποιειτε ομως ΠΟΛΥ την γεωμετρια οπου μπορειτε!!Το φετινο θεμα το εβγαλα σε 10 λεπτα λογω της γεωμετριας..

O στοχος του θρεντ δεν ειναι μονο οι ασκησεις που μπαινουν στις εξετασεις ή τουλαχιστον δεν πρεπει να ειναι μονο αυτος.

ξαροπ · 16-07-12

Δεν ήξερα ότι ήταν γνωστή. Τότε να μια άλλη από το 'βιβλίο', λιγότερο γνωστή ελπίζω.

Για τους μιγαδικούς x,y,z δείξτε ότι

$|x| + |y| + |z| \leq |x+y-z| + |y+z-x| + |z+x-y|$ .

Αν ισχύει ότι $x+y+z \neq 0, |x|=|y|=|z|$ , δείξτε ότι

$Re(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})\times Re(\frac{1}{x+y+z}) \geq 0$

Guest 018946 · 16-07-12

Δεν ξερω τι παιζει με τους μιγαδες και πως ισχυει η τριγωνικη εκει αλλα ετσι και ηταν τυχοντες πραγματικοι θα εκανα τριγωνικη για τον πρωτο με το τριτο ορο του δεξια μελους , αντιστοιχα πρωτος και δευτερος και μια τελευταια τριγωνικη δευτερου και τριτου προσθετω οπως ειμαι κατα μελη διαιρω και με το δυαρι μου και βγηκε.

rebel · 20-07-12

Αρχική Δημοσίευση από ξαροπ:
Δεν ήξερα ότι ήταν γνωστή. Τότε να μια άλλη από το 'βιβλίο', λιγότερο γνωστή ελπίζω.

Για τους μιγαδικούς x,y,z δείξτε ότι

$|x| + |y| + |z| \leq |x+y-z| + |y+z-x| + |z+x-y|$ .

Αν ισχύει ότι $x+y+z \neq 0, |x|=|y|=|z|$ , δείξτε ότι

$Re(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})\times Re(\frac{1}{x+y+z}) \geq 0$

To πρώτο ερώτημα απαντήθηκε από τον Τάσο. Για το δεύτερο έστω
$|x|=|y|=|z|=\rho$ . Αρκεί να δείξουμε ότι
$\rho^2Re\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\Bigr) Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z}\Bigr)\geq 0 \stackrel{Re(\lambda a)=\lambda Re(a)}{\Leftrightarrow} \\ Re\Bigl(\frac{\rho^2}{x} + \frac{\rho^2}{y} + \frac{\rho^2}{z}\Bigr) Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z}\Bigr)\geq 0 \Leftrightarrow \\ Re \Bigl( \bar{x} +\bar{y} +\bar{z} \Bigr)Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z} \Bigr) \geq 0 \Leftrightarrow Re \Bigl( \overline{x+y+z} \Bigr)Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z} \Bigr) \geq 0 \,\,(*)$
Έστω $x+y+z=c+di ,\,\,c,d \in \mathbb{R},\,\,(c,d)\neq (0,0)$ . H (*) γράφεται ισοδύναμα
$c\frac{c}{c^2+d^2}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{c^2}{c^2+d^2} \geq 0$
που ισχύει.

Demlogic · 30-07-12

Αρχική Δημοσίευση από Guest854551:
Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: Re(z+4/z)=2Re(z)
α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.
β. Αν Re(z)≠0 , τότε
i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w=z+4/z είναι πραγματικός και ισχύει $-4\leq w\leq 4$
ii. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών c=3+4i
γ. Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του c.
δ. Αν οι μιγαδικοί z1,z2 και z3 ικανοποιούν την σχέση (1) και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι:

|z1*z2+z2*z3+z1*z3|= 2|z1+z2+z3|

wtf, τα ξεχασα κιολας;
πως γινεται να βρεις τον γεωμετρικο τοπο του μιγαδικου c=3+4i?

antwwwnis · 30-07-12

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
wtf, τα ξεχασα κιολας;
πως γινεται να βρεις τον γεωμετρικο τοπο του μιγαδικου c=3+4i?

Ένα σημείο είναι.
Αλλά μάλλον κάτι έγραψε λάθος...

Demlogic · 31 Ιουλίου 2012

Αρχική Δημοσίευση από Guest854551:
Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: Re(z+4/z)=2Re(z)
α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.
β. Αν Re(z)≠0 , τότε
i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w=z+4/z είναι πραγματικός και ισχύει $-4\leq w\leq 4$
ii. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών c=3+4i
γ. Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του c.
δ. Αν οι μιγαδικοί z1,z2 και z3 ικανοποιούν την σχέση (1) και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι:

|z1*z2+z2*z3+z1*z3|= 2|z1+z2+z3|

α) $(z+4/z + \bar{z} + 4/\bar{z})/2 = z + \bar{z} \Rightarrow(z+\bar{z})(z\bar{z}-4)=0 \Rightarrow z E I \eta |z|=2$
β)i αφου re(z)≠0 τοτε |z|=2 αρα $z=4/\bar{z}$ (2)
ξεκιναω απο το w παυλα και καταληγω στο w σκετο
αρα wER

τωρα αρκει να δειξω |w|≤ 4 <=> |z+4/z|≤4

ομως |z+4/z|≤ |z| + |4/z|= 2 + 4/2=4
αρα |w|≤4

δ) |z1*z2+z2*z3+z1*z3|= βαζω συζυγη, αντικαθιστω απο την (2) κανω ομωνυμα κλπ κλπ

περιμενω ενημερωση για το βii

Demlogic · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
Ελα να ξεκινησουμε πουλακια μου.

κατι ευκολο για αρχη

δεδομενα:
$z,w\epsilon C , |z|<1 , |w|<1$
ζητουμενα:

δειξτε οτι
|z-w|<|1-zw|

οπου z ο συζηγης του z (δε ξερω πως συμβολιζεται)

θα την λυσει κανεις; :mad:

Demlogic · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
To πρώτο ερώτημα απαντήθηκε από τον Τάσο. Για το δεύτερο έστω
$|x|=|y|=|z|=\rho$ . Αρκεί να δείξουμε ότι
$\rho^2Re\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\Bigr) Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z}\Bigr)\geq 0 \stackrel{Re(\lambda a)=\lambda Re(a)}{\Leftrightarrow} \\ Re\Bigl(\frac{\rho^2}{x} + \frac{\rho^2}{y} + \frac{\rho^2}{z}\Bigr) Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z}\Bigr)\geq 0 \Leftrightarrow \\ Re \Bigl( \bar{x} +\bar{y} +\bar{z} \Bigr)Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z} \Bigr) \geq 0 \Leftrightarrow Re \Bigl( \overline{x+y+z} \Bigr)Re \Bigl( \frac{1}{x+y+z} \Bigr) \geq 0 \,\,(*)$
Έστω $x+y+z=c+di ,\,\,c,d \in \mathbb{R},\,\,(c,d)\neq (0,0)$ . H (*) γράφεται ισοδύναμα
$c\frac{c}{c^2+d^2}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{c^2}{c^2+d^2} \geq 0$
που ισχύει.

τι σπουδασες ειπαμε; :hmm:

vassilakos · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από Demlogic:
θα την λυσει κανεις;

Θα κανω την προσπαθεια μου...και οπου ειμαι λαθος πειτε μου!!!!!
Εχουμε οτι: $\left|z \right|<1,\left|w \right|<1$ ...και $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ .(1)...οποτε θα ξεκινησουμε απο την (1) και θα καταληξουμε σε κατι που ισχυει...αρα θα ισχυει και η αρχικη υποθεση...!!!
Εστω οτι : $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ ....καθως τα μετρα μιγαδικων αριθμων ειναι θετικοι αριθμοι τοτε μπορουμε να υψωσουμε στο τετραγωνο και τα δυο μελη...
$(\left|z-w \right|)^2<(\left|1-\bar{z}w \right|)^2\Leftrightarrow \left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)$
$\left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)\Leftrightarrow$
$z\bar{z}-z\bar{w}-\bar{z}w+w\bar{w}<1-z\bar{w}-\bar{z}w+z\bar{z}w\bar{w}\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2+\left|w \right|^2<1+\left|z \right|^2\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)<1-\left|w \right|^2$ ......ομως επειδη $\left|w \right|<1\Leftrightarrow 1-\left|w \right|^2>0$ ....οποτε τελικα προκυπτει οτι
$\left|z \right|^2<1\Leftrightarrow \left|z \right|<1$ ..που ισχυει απο υποθεση.....Οποτε ισχυει και η αρχικη υποθεση!!!!

Guest 018946 · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
που ισχυει απο υποθεση.....Οποτε ισχυει και η αρχικη υποθεση!!!!

Δεν υποθετεις οτι ισχυει η αρχικη σχεση , πας με ισοδυναμιες και "αρκει" ωστε να καταληξεις σε κατι που ισχυει και να πεις οτι ισχυει η αρχικη προταση . Αυτο που ειπες δλδ στερειται μαθηματικης λογικης να ουμ

vassilakos · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
Δεν υποθετεις οτι ισχυει η αρχικη σχεση , πας με ισοδυναμιες και "αρκει" ωστε να καταληξεις σε κατι που ισχυει και να πεις οτι ισχυει η αρχικη προταση . Αυτο που ειπες δλδ στερειται μαθηματικης λογικης να ουμ

Τι να σου πω.....απ' οτι θυμαμαι αν ξεκινισεις με μια σχεση που σου δινει και καταληξεις σε κατι που ισχυει, υστερα απο πραξεις που θα κανεις στην αρχικα δοθεισα.....τοτε η δοθεισα ισχυει....π.χ ΝΔΟ: αν ${z}_{1},{z}_{2}\neq 0$ ...οτι $\left|{z}_{1} {z}_{2}\right|=\left|{z}_{1} \right|\left|{z}_{2} \right|$ ..αποδειξη του σχολικου βιβλιου που την αποδεικνυει δεχομενος την δοθεισα υποθεση....Δεν ξέρω λεω εγω τωρα..... :hmm:

Guest 018946 · 01-08-12

δεν δεχεσαι οτι ισχυει. Αυτο είναι λάθος απλα λες οτι αρκει αυτο , αρκει το αλλο βγαινεις σε κατι που ισχυει και φινι.

vassilakos · 01-08-12

....ακυρο....να διαγραφει απο τους moderators...το συγκεκριμενο μηνυμα..!!!

vassilakos · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dr.tasos:
δεν δεχεσαι οτι ισχυει. Αυτο είναι λάθος απλα λες οτι αρκει αυτο , αρκει το αλλο βγαινεις σε κατι που ισχυει και φινι.

Πραγματικα δεν καταλαβαινω την ενσταση σου........Ειναι ο τροπος που την ελυσα ή το πως αιτιολογησα πως και τι εκανα....

dimitris001 · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από vassilakos:
Θα κανω την προσπαθεια μου...και οπου ειμαι λαθος πειτε μου!!!!!
Εχουμε οτι: $\left|z \right|<1,\left|w \right|<1$ ...και $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ .(1)...οποτε θα ξεκινησουμε απο την (1) και θα καταληξουμε σε κατι που ισχυει...αρα θα ισχυει και η αρχικη υποθεση...!!!
Εστω οτι : $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ ....καθως τα μετρα μιγαδικων αριθμων ειναι θετικοι αριθμοι τοτε μπορουμε να υψωσουμε στο τετραγωνο και τα δυο μελη...
$(\left|z-w \right|)^2<(\left|1-\bar{z}w \right|)^2\Leftrightarrow \left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)$
$\left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)\Leftrightarrow$
$z\bar{z}-z\bar{w}-\bar{z}w+w\bar{w}<1-z\bar{w}-\bar{z}w+z\bar{z}w\bar{w}\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2+\left|w \right|^2<1+\left|z \right|^2\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)<1-\left|w \right|^2$ ......ομως επειδη $\left|w \right|<1\Leftrightarrow 1-\left|w \right|^2>0$ ....οποτε τελικα προκυπτει οτι
$\left|z \right|^2<1\Leftrightarrow \left|z \right|<1$ ..που ισχυει απο υποθεση.....Οποτε ισχυει και η αρχικη υποθεση!!!!

Δεν συμφωνώ απόλυτα μαζί σου......

Η δικιά μου λύση είναι η εξής:
Θέλουμε νδο $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ ή ισοδύναμα(επειδή ειναι μετρα μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο χωρις να επηρεαστεί η φορά της ανίσωσης)
Οπότε αρκει νδο $(\left|z-w \right|)^2<(\left|1-\bar{z}w \right|)^2\Leftrightarrow \left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)$
$\left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)\Leftrightarrow$
$z\bar{z}-z\bar{w}-\bar{z}w+w\bar{w}<1-z\bar{w}-\bar{z}w+z\bar{z}w\bar{w}\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2+\left|w \right|^2<1+\left|z \right|^2\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)<1-\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)-(1-\left|w \right|^2)<0\Leftrightarrow$
$(1-\left|w \right|^2)(\left|z \right|^2-1)<0(1)$
άρα το ζητούμενο μας είναι νδο οτι ισχύει η σχέση (1), η οποία ισχύει γιατί
1ον..... $\left|w \right|<1\Leftrightarrow 1-\left|w \right|^2>0(2)$
και 2ον.... $\left|z \right|<1\Leftrightarrow {\left|z \right|}^{2}<1\Leftrightarrow {\left|z \right|}^{2}-1<0(3)$
άρα με πολλαπλασιασμό των σχέσεων (2) με (3)..προκύπτει αυτό που θέλουμε να δείξουμε....

vassilakos · 01-08-12

Αρχική Δημοσίευση από dimitris001:
Δεν συμφωνώ απόλυτα μαζί σου......
Η δικιά μου λύση είναι η εξής:
Θέλουμε νδο $\left|z-w \right|<\left|1-\bar{z}w \right|$ ή ισοδύναμα(επειδή ειναι μετρα μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο χωρις να επηρεαστεί η φορά της ανίσωσης)
Οπότε αρκει νδο $(\left|z-w \right|)^2<(\left|1-\bar{z}w \right|)^2\Leftrightarrow \left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)$
$\left(z-w \right)\left( \bar{z}-\bar{w}\right)<\left(1-\bar{z}w \right)\left(1-z\bar{w} \right)\Leftrightarrow$
$z\bar{z}-z\bar{w}-\bar{z}w+w\bar{w}<1-z\bar{w}-\bar{z}w+z\bar{z}w\bar{w}\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2+\left|w \right|^2<1+\left|z \right|^2\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)<1-\left|w \right|^2\Leftrightarrow$
$\left|z \right|^2(1-\left|w \right|^2)-(1-\left|w \right|^2)<0\Leftrightarrow$
$(1-\left|w \right|^2)(\left|z \right|^2-1)<0(1)$
άρα το ζητούμενο μας είναι νδο οτι ισχύει η σχέση (1), η οποία ισχύει γιατί
1ον..... $\left|w \right|<1\Leftrightarrow 1-\left|w \right|^2>0(2)$
και 2ον.... $\left|z \right|<1\Leftrightarrow {\left|z \right|}^{2}<1\Leftrightarrow {\left|z \right|}^{2}-1<0(3)$
άρα με πολλαπλασιασμό των σχέσεων (2) με (3)..προκύπτει αυτό που θέλουμε να δείξουμε....

Μου αρεσει ο τροπος σου......!!!!! :clapup:

Demlogic · 04-08-12

ωραιος ο dimitris001 , με τον ιδιο τροπο την ειχα βγαλει
θα σας βαλω καμια ακομη αυριο

vassilakos · 10-08-12

Ας βαλω και εγω μια ασκησουλα...!!!
Εστω $z,w\epsilon C$ με τις εικονες του z να κινουντε στον κυκλο $(C): x^2+(y-1)^2=4$ και ισχυει η σχεση $z^2+w^2=0$ .....Να βρεθει ο Γ.Τ των εικονων του w...!!!!

Demlogic · 13-08-12

$K(0,1),\quad r=2\Leftrightarrow \quad |z-i|=2\quad so,\quad we\quad have\quad w^{ 2 }+z^{ 2 }=0\quad \Leftrightarrow \quad w^{ 2 }-i^{ 2 }z^{ 2 }=0\quad \Leftrightarrow \quad (w-iz)(w+zi)=0\quad \Leftrightarrow \quad w=zi\quad \vee \quad w=-zi$
so (please upgrade your latex version]

ομως το |z-i|=2 οποτε το υπολοιπο κομματι της ασκησης το αφηνω για τους μικρους

Συλλογή ασκήσεων και τεστ στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Guest 018946

Επισκέπτης

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος