Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

Rembeske

Θα σου δώσω μία συμβουλή. (Συμβουλές πρέπει να δίνουν κυρίως αυτοί που διαπράξανε άφθονες μ......ες στη ζωή τους-όπως εγώ). Φρόντισε να μη αφήσεις αναξιοποίητο το αυθεντικό σου ταλέντο στα Μαθηματικά. Κάνε γρήγορα Διδακτορικό και μη "βαλτώσεις" σε άλλα στέκια επαγγελματικά και προσωπικά.
Έχεις μία ασυνήθιστα γρήγορη Μαθηματική σκέψη, την δέουσα Μαθηματική αφηρημάδα (εγώ έχω πολύ μεγαλύτερη-κάποτε έφυγα με δύο τσαντάκια και το άλλο το ξέχασα στη σκεπή του αυτοκινήτου, ενώ διέσχιζα την Τσιμισκή. Πριν από λίγο έστειλα αυτό το μήνυμα στις "Τουρκικές διεκδικήσεις και Διεθνές Δίκαιο", ενώ προ ημερών απάντησα στην έκπληκτη ΚΑΚΗ ΕΠΙΡΡΟΗ, σε μύνημα που έγραψε η Μichelle..).

Bρες όλα τα 14 βιβλία του Καζαντζή σήμερα (κάποια δεν κυκλοφορούν, μπορώ να σου τα στείλω για αντίγραφα).

Μην αφήνεις τον χρόνο να φεύγει...

Αν μου επιτρέπεις...

Αρχική Δημοσίευση από tanos56:

Bρες όλα τα 14 βιβλία του Καζαντζή σήμερα (κάποια δεν κυκλοφορούν, μπορώ να σου τα στείλω για αντίγραφα).

Click για ανάπτυξη...

Αυτα τα βιβλια που λετε σε τι τομεις των μαθηματικων αναφέρονται? Τι το ιδιαιτερο επισης εχουν και μιλατε ετσι γι αυτα?

Καλύπτουν όλο το φάσμα του λυκείου. Ωστόσο είναι ιδιαίτερα υψηλού επιπέδου-ιδιως τα παλιά- ακόμα και για συναδέλφους. Αποτελούν "μνημεία Μαθηματικής συγγραφής" και είναι απαραίτητα για κάποιον που ασχολείται με τα Μαθηματικά.

θα τα εχω υποψη οταν και αν γινω με το καλο καθηγητης!

α τωρα διαβαζω ανωτερα μαθηματικα .τοπολογιες και ιστοριες! χρωσταω και ενα καρο μαθηματα!

Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes:

Είναι! Συγχαρητήρια!

Click για ανάπτυξη...

Ετοιμασα και μια αποδειξη πανω στην συγκαλυψη του επιπεδου, οτι στην ενωση του χωρου πανω απο τις καμπυλες.

y = f(x) = (1-x)^(1/x)
x = f(y) = (1-y)^(1/y)
y = f(x) = (1-x^x)^(1/x)
x = f(y) = (1-y^y)^(1/y)

ισχυει το x^y+y^x

δηλαδη σε ολο το επιπεδο, μολις αποκτησει ανθρωπινη μορφη θα την ανεβασω, διακοπες τωρα

m3ntOr έχω την εντύπωση (δεν το έψαξα πολύ), ότι η άσκηση του Rembeske δεν "βγαίνει" με ανώτερα Μαθηματικά. Υπάρχει σημείο στάσεως, αλλά είναι σάγμα........

Λοιπον, αφού το θέμα απαντήθηκε, ας δώσω και μια διαφορετική λύση (αυτή που νόμιζα ότι θα πεί κάποιος τελικά)

Όταν εμφανίζεται αμφιβολία για την 1η παράγωγο, είναι λογικό να εξετάσουμε την... 2η - δλδ την κυρτότητα (ή όχι) της συνάρτησης

Η συνάρτησεις χ^α και α^χ είναι κοίλες - άρα το ίδιο συμβαίνει και με την φ(χ)=α^χ+χ^α. Αυτό δεν βγαίνει (σε καμμία περίπτωση) παραγωγίζοντας την φ, που είναι και η πρώτη πονηρή παρατήρηση για τη λύση

Επίσης, επειδή είναι πολύ ενοχλητικοί οι εκθέτες, λογαριθμίζουμε - η δεύτερη πονηρή παρατήρηση, καθώς και κάνουμε την ζωή μας ευκολότερη, και δεν χάνουμε την κοιλότητα της φ.

Εφ' όσον τελικά η logφ είναι κοίλη, έχουμε log[φ(βχ+(1-β)y)]>=βlog[φ(χ)]+(1-β)log[φ(y)]
για κάθε 0<β<1 και 0<=χ,y<=1. Η τελευταία γράφεται απλούστερα
φ(βχ+(1-β)y)>=[φ(χ)]^β*[φ(y)]^{1-β}

(--- ναι, εκμεταλλευτήκαμε το λογάριθμο στυγνά, και τον πετάξαμε σαν σκουπίδι μετά, για να μην λέει κανείς πως τα μαθηματικά δεν έχουν σχέση με την πραγματικότητα.)


και όπως έλεγα, αν χ=1 και y=0 στην τελευταία, έχουμε φ(β)>=φ(1)^{β}φ(0)^{1-β} ή
α^β+β^α > (1+α)^β --- δηλαδή αποδείχθηκε μια ισχυρότερη ανισότητα, και αυτό γιατί κάναμε ένα βρώμικο κόλπο με τον λογάριθμο (...και πάλι, η ζωή μιμείται τα μαθηματικά )


Πρός τάνος:

Λοιπόν, πάμε στο άλλο με το κανονικό πολύγωνο. Δεν διευκρίνησα πως ο τύπος ισχύει για ν=4 και πάνω --- όπως και πρέπει, για να πάρουμε ένα όριο όταν το ν μεγαλώνει, και να αποδείξουμε τα υπόλοιπα με βάση το ότι η περιφέρεια του πολυγώνου τείνει στη περιφέρεια του κύκλου Και όπως τα απάντησες όμως, δεν έχω αντίρρηση.

Α ναι ξέχασα! βρε αθεόφοβε, γιατί κάνεις την ζωή σου δύσκολη; Πάς στον μοναδιαίο κύκλο (αφού δεν το λέει ρητά η άσκηση) και R=1! Οπότε συμφωνούμε παλι στους τύπους. Άλλωστε θα μου έκανε εντύπωση να ήταν λάθος, πήρα την άσκηση από το "What is Mathematics" των Courant-Robbins, ή αλλιώς από την ...Βίβλο

Φρόντισε να μη αφήσεις αναξιοποίητο το αυθεντικό σου ταλέντο στα Μαθηματικά.

Click για ανάπτυξη...

Τώρα με τιμάς και με υπερτιμάς ταυτόχρονα Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, αλλά τα μαθηματικά βλάπτουν σοβαρά την υγεία μου.


Προς παίκτης:

α τωρα διαβαζω ανωτερα μαθηματικα .τοπολογιες και ιστοριες!

Click για ανάπτυξη...

Ρίξε θέματα να γουστάρουμε...




Λοιπόν περιμένουμε το επόμενο σετάκι με ασκήσεις (για να μην μουλιάσει ο εγκέφαλος από την ζέστη)... Αντιος!

Προτού δω τα επόμενα....

Οι συνάρτησεις χ^α και α^χ είναι κοίλες - άρα το ίδιο συμβαίνει και με την φ(χ)=α^χ+χ^α.

Εδώ κάτι ξέφυγε:

Η συνάρτηση h(x)=x^α, είναι πράγματι κοίλη στο (0,1), για 0<α<1, αλλά η
g(x)=α^χ, είναι ΚΥΡΤΗ σε όλο το R......

Ναι, βιάστηκα στη διατύπωση (ως συνήθως...)- ο λογάριθμος της είναι κοίλη. Το επιχείρημα στέκει ως έχει...

Να δειξετε οτι καθε κλειστη σφαιρικη περιοχη του R^n ειναι κυρτο συνολο.

Πάλι δεν σε κατάλαβα...

Από που εξάγεις το συμπέρασμα ότι η δεύτερη παράγωγος της lnφ, δηλαδή το "τέρας":

((α(α-1)(χ^(α-2))+(α^χ)(lnα)^2)/α^χ+χ^α-
((αχ^α-1)+α^χlnα)^2/(α^χ+χ^α)^2,

διατηρεί στο συγκεκριμένο διάστημα αρνητικό πρόσημο?

----------

Κυρτό σύνολο:

Από που εξάγεις το συμπέρασμα ότι η δεύτερη παράγωγος της lnφ, δηλαδή το "τέρας" (...) διατηρεί στο συγκεκριμένο διάστημα αρνητικό πρόσημο?

Click για ανάπτυξη...

Η φ είναι άθροισμα συναρτήσεων των οποίων οι λογαριθμοι είναι κοίλες συναρτήσεις - άρα και αυτή έχει την ίδια ιδιότητα. Είναι απλή συνέπεια του ότι η σύνθεση κοίλης με κοίλη είναι κοίλη συνάρτηση επίσης.

Να δειξετε οτι καθε κλειστη σφαιρικη περιοχη του R^n ειναι κυρτο συνολο.

Click για ανάπτυξη...

Λοιπόν... αν C(x,r) είναι η κλειστή μπάλλα (*) με κέντρο χ και ακτίνα r, τότε παρατηρούμε πως



οπότε αν η C(0,r) είναι κυρτή, έχουμε τελειώσει. Αλλά πάλι


οπότε αρκεί να το αποδείξουμε για την μοναδιαία κλειστή μπάλλα C(0,1). Θεωρείς δύο σημεία x,y ε C(0,1) και 0<μ<1, και θ.δ.ο. το σημείο ξ=μx+(1-μ)y ανήκει στην C(0,1). Αυτό είναι απλό όμως:



άρα ξ ε C(0,1) και τέλος.

(*) όλα τα ξενόγλωσσα βιβλία αναφέρουν τις "σφαιρικές περιοχές" ως balls, και πρέπει να είμαστε ευρωπαίοι στη συμπεριφορά μας... Όσο και αν αυτό μας ταράζει τα balls.

Ρε Rempeske

Για να μη λέμε λόγια άσκοπα...


Η συνάρτηση:
Φ(χ)=(χ^(1/25))+(1/25)^χ ,χ στο (0,1), έχει δεύτερη παράγωγο:
Φ''(χ)=
(-24/(625 χ^49/25))+(25^-χ)(ln25)^2,

ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος, αφού 0<1/25<1, ωστόσο είναι ΚΥΡΤΗ . (Για δες την γραφική της παράσταση στο (0,1)...)

Επίσης η σύνθεση δύο κοίλων δεν είναι γενικώς κοίλη.

μου φαινεται παρομοια η λυση που δωσατε τανο και ρεμπεσκε.
Επισης λυνεται αν θεωρησοουμε δυο σημεια χ,y της ανοικτης μπαλας(ικανοποιημενος?) B(a,e) κεντρο α ακτινα ε και με την βοηθεια της ανισοτητας minkowski δειχνεις οτι για καθε z που ανηκει στο L(x,y) En(a,z)<e.τανο το ιδιο κανεις και συ ουσιαστηκα...

απλα χρησιμοποιεις τη σχεση που ισχυει για τα ευθυγραμμα και μετα με τριγωνικη ανισοτητα.

Η συνάρτηση:
Φ(χ)=.. ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος, αφού 0<1/25<1, ωστόσο είναι ΚΥΡΤΗ .

Click για ανάπτυξη...

...αλλά ο λογάριθμός της, είναι κοίλη συνάρτηση.

ΕΠΙΣΗΣ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΚΟΙΛΩΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΕΝΙΚΩΣ ΚΟΙΛΗ

Click για ανάπτυξη...

...Εκτός αν συνθέτουμε με τον λογάριθμο.

Για να μη λέμε λόγια άσκοπα...

Click για ανάπτυξη...

...Γιατί όχι; Μόνο οι πολιτικοί δηλαδή έχουν δικαίωμα στην μπούρδα?


Επίσης, για να σε πείσω ότι η λογαριθμική κυρτότητα δεν είναι δική μου εφεύρεση, υπάρχει το εξής άρθρο.

Rempeske είσαι άτυχος. Και η lnφ για α=1/25, είναι κυρτή.
(μπορείς να το δεις στο σχήμα εδώ που σου παραθέτω). Τώρα γι΄αυτό και για όλα τα άλλα που λες , ηθελα σε ρωτήσω:

Ρε Rembeske τι ήπιες σήμερα και δεν μας έδωσες?

To πόσο κοίλη είναι η ln[((1/25)^x+(x^1/25)], μπορείς να το δεις στο σχήμα εδώ που σου παραθέτω.

Click για ανάπτυξη...

Η θεωρία δεν συμφωνεί Κάτι θα ξέφυγε στο πληκτρολόγιο.

H α^χ έχει λογάριθμο κοίλη, και η χ^α είναι κοίλη=>λογ. κοίλη.

Το άθροισμα δύο λογαριθμικά κοίλων είναι επίσης λογαριθμικά κοίλη (δεδομένο...)

Οπότε...?

Ρε Rembeske τι ήπιες σήμερα και δεν μας έδωσες?

Click για ανάπτυξη...

3 φραπέ για πρωινό...

Rempeske είσαι άτυχος.

Click για ανάπτυξη...

Στο Προπό να δεις.

που σου παραθέτω.

Click για ανάπτυξη...

Μόνο στο δικό μου word δεν βλέπω σχήμα; Ανεβάστε το κάποιος σαν εικόνα...



υγ. Επιμένω πως η θεωρία δεν κάνει λάθος...