panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Καμία ιδέα ;;
Και η δεύτερη
Στην πρώτη:
α) Δύο εφαρμογές του θεωρήματος Bolzano στην συνάρτηση f, μία στο [-1,0] και μία στο [0,1]
β) Μία εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην συνάρτηση f στο διάστημα [x1,x2], όπου x1,x2 οι ρίζες που βρήκες στο πρώτο ερώτημα
Η δεύτερη απαντήθηκε ήδη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Παιδια βοήθεια μπορεί κάποιος να μ πει αναλυτικά το σύνολο τιμών της f(x)=(x-1)lnx+1/2(x-1)^2 γτ εμένα μ βγαίνει όλο το R και στις λύσεις λέει 0,+άπειρο...
Ο όρος 1/2(x-1)² είναι πάντα θετικός για κάθε τιμή του x στο πεδίο ορισμού της f.
Επομένως,αρκεί να ψάξεις το πρόσημο της συνάρτησης g(x)=(x-1)lnx, x>0. Θα πάρεις την g'(x) και για να βρεις το πρόσημο της, θα θέσεις συνάρτηση την παράσταση του αριθμητή. Από κει και πέρα αν ξέρεις την μεθοδολογία για το σύνολο τιμών, θα σου βγει εύκολα στο τέλος ότι g(x)>/0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Έχω κολλήσει στο δεύτερο ερώτημα..
Δεν είμαι σίγουρη, αλλά αν κάνεις σύνολο τιμών, βλέπεις ότι η f ξεκινά από το -οο και φτάνει ως το +οο, και αφού είναι αύξουσα, θα τέμνει μια φορά τον άξονα χ'χ,, άρα θα έχει μια ακριβώς ρίζα.
Ναι ουσιαστικά αυτό είναι. Λίγο πιο ευπαρουσίαστο, είναι να γράψεις αφού βρεις το σύνολο τιμών της f ότι 0 ε (-00,+00) άρα η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Όμως η f είναι γν. μονότονη άρα και '1-1'. Άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Να βρείτε συνάρτηση f ορισμένη στο (-π/2,π/2) για την οποία ισχύουν f(0)=2012 και συνx f'(x)+ημx f(x) = xσυνχσυνχ για κάθε χεR.
!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
έχουμε f:R->R με lim(f(x)+ημ3x)/( x+4)^1/2 -2=20 (x--->0)
Να βρείτε:
α) lim f(x), (x---->0)
b) lim[ f(x)/x], (x---->0)
c) lim[ f(x)/ημx], (x---->0)
d) lim [f(x)-f(2x)/x^3] , (x---->0)
προσπαθώ ώρες..και μαλλον κάπου κάνω συνέχεια το ιδιο λάθος...παρακαλώ μια βοήθεια!
Είναι βασική κατηγορία ασκήσεων, να την παλέψεις περισσότερο..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
καλησπερα!!Καταρχας θα ηθελα να ευχαριστησω τα παιδια που με βοηθησαν στις παραπανω ασκησεις και επειτα να ζητησω για μια ακομη φορα βοηθεια...
View attachment 55346
View attachment 55347
View attachment 55348
στη τριτη ασκηση εχω βρει τα α,β α=-1 και β=-3
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Αν z1,z1,z3εC να δε'ιξετε ότι
1)Αν /z1/+/z2/=2, τοτε z1+z2/4+z1+z2 εR
2) Αν /z1/=/z2/=/z3/=1 και z1+z2+z3=1 τότε z1^-1+ z2^-1 +z3^-1=1
3) Αν z1,z2,z3εC ΜΕ /Ζ1/=/Ζ2/=/Ζ3=1 τοτε (z1(συζυγής) +z2)*(z2(συζυγής)+z3)*(z3(συζυγής)+z1)εR
4)Αν /z1/=/z2/=/z3/=/z1+z2+z3/=p,p>0 τοτε /z1*z2+z2*z3+z3*z1/=p^2
έχω κανει τα 2 πρώτα θέλω βοήθεια στα επόμενα αν γινεται..
Οι λύσεις στα 3) και 4) !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
πραγματικα αψογος, ευχαριστω.
μια δεξαμενη νερου εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο με τις δυο εδρες τετραγωνα πλευρας χ.το επανω μερος ειναι ανοιχτο και η δεξαμενη ειναι κατασκευασμενη απο λαμαρινα εμβαδου 27.να βρειτε τις διαστασεις της δεξαμενης ωστε αυτη να χωραει τη μεγαλυτερη δυνατη ποσοτητα νερου
Αν και την έλυσε ο Civilara, με βάση την άσκηση με το ημερολόγιο θα μπορούσες να λύσεις και αυτήν.
Μην κάνεις κατάχρηση του ischool, βάλε λίγο το μυαλό σου να δουλέψει!
Φιλικά πάντα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Μια βιομηχανια θελει να κατασκευασει ενα ημερολογιο σε ενα φυλλο χαρτιου με εμβαδον 800cm.τα περιθωρια αριστερα και δεξια ειναι 4cm, ενω πανω και κατω 2 cm.να βρειτε τις διαστασεις του φυλλου, ωστε η ωφελιμη επιφανεια να ειναι μεγιστη
Παρατήρηση: Δεν έδωσα βάση στους περιορισμούς για την Ε(x), όπου στην προκειμένη περίπτωση κανονικά πρέπει 4<x<100. Να συμπεριληφθεί αυτό στον πίνακα μεταβολών.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
ΔΙνεται η εξισωση h^2009+9x=10xh με αγνωστο τον h και x>1 Α)να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει τρεις ακριβως ριζες h1(x),h2(x),h3(x) με h1(x)<h2(x)<1<h3(x)
β)να υπολογισετε τα ορια των h1(x),h2(x),h3(x) οταν το χ τεινει στο συν απειρο
Μήπως στην αρχική σου σχέση είναι h(x) κι όχι απλώς h;
σας ευχαριστω πολυ για τη βοηθεια προηγουμενως . θα ηθελα μια ακομα βοηθεια στην παρακατω ασκηση:
Εστω οι μιγαδικοι z,w με και |w|=1
1] Αν και να αποδειξετε οτι ο t ειναι φανταστικος
2]Να βρειτε τον γεωμετρικο τοπο της εικονας του z
3] Nα βρειτε την μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του |z|
4]Αν για τους μιγαδικους z1,z2 ισχυον οι σχεσεις να αποδειξετε οτι
το προβλημα μου ειναι το 1 και το 4. στο 1 οχ δεν ξερω απλως οταν παω να αντικαταστησω μετα απλως δεν καταληγω στη μορφη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Πάνο αν μου επιτρέπεις έχεις ένα λάθος στο 2ο όριο. Στην τελευταία γραμμή θεωρείς ότι υπάρχει το lim(x->0)[f(x)g(x)] και το ξεχωρίζεις στον αριθμητή, κάτι που δεν το γνωρίζουμε εξαρχής.
Θα έπρεπε να το δικαιολογήσω παραπάνω, αλλά εκείνη την ώρα δεν μπήκα στην διαδικασία!
Μπορούμε να καταλάβουμε ότι το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, αν στην προτελευταία σειρά θέσουμε την συνάρτηση μέσα στο όριο και λύσουμε ως προς f(x)g(x) και, στη συνέχεια, περάσουμε όρια. Ακόμη και έτσι, το θεωρώ πιο γρήγορο τρόπο και ήθελα να τον προτείνω! Καλή παρατήρηση πάντως!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
View attachment 55170
View attachment 55171
Στο 1ο όριο σκέφτηκα να διαιρεσω με χ αριθμητη κ παρονομαστή...
Στο 2 να λύσω ως προς f(x) κ g(x) αντίστοιχα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα
Αυτά που μπόρεσα για την ώρα!
ΥΓ: Σχετικά με το 1ο σκέλος του Γ3, ισχύει z=w στα σημεία που οι 2 κύκλοι τέμνονται. Επομένως, για να έχουμε μοναδικούς z,w με z=w, αρκεί οι δύο κύκλοι να έχουν μόνο 1 κοινό σημείο, δηλαδή να εφάπτονται. Άρα θα πρέπει (σύμφωνα με τα δικά μου σχήματα) (ΚΛ)=R1+R2, που ισχύει
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
καλησπερα σε ολους! θα ηθελα μια βοηθεια στο Γ3 και Γ4. εκανα τα δυο πρωτα αλλα κολλαω στα υπολοιπα
Στο Γ1 έχεις φάει πρόσημο στην 2η σειρά. Κάποιο άλλο θα είναι το αποτέλεσμα.
Ωστόσο θα το λύσω και εγώ τώρα και θα σου πω!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
ευχαριστωω
καλημερα!!
σ αυτο εβγαλα μεγιστοβαθμιο σε αριθμητη και παρονομαστη και στο τελος μου βγαινει 0/2.....
σκεφτηκα να εφαρμοσω στον αριθμητη την ιδιοτητα ....γινεται???
επισης σκεφτηκα να πολ/σω με συζυγη αλλα δεν ξερω πως..??!!!
Ορίστε!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
f'(x+x^3)(3x²+1)=3x² , για κάθε xεR
Επομένως για x=1: 4f'(2)=3 άρα f'(2)=3/4
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Είναι θεώρημα: Αν η f είναι αντιστρέψιμη και συνεχής στο x0 τότε η f-1 είναι συνεχής στο f(x0).
Η απόδειξη είναι απλή και την έχω γράψει παλαιότερα σε αυτή τη συζήτηση. Για να το χρησιμοποιήσεις στις πανελλήνιες εξετάσεις πρέπει να το αποδείξεις πρώτα.
Στην τελευταία σελίδα των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων γράφει:
Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
Δεν είπα κάτι διαφορετικό.
Είπα ότι δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, δηλαδή δεν μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετα και να το δεχτούν = θα χρειαστεί να αποδειχθεί προηγουμένως!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Αυτό γιατί ισχύει;
Δεν είχα σκοπό να αφήσω απάντηση στο θέμα, αλλά ακριβώς την ίδια σκέψη έκανα και εγώ.
Γραφικά μπορείς να καταλάβεις ότι ισχύει, αν πάρεις την συμμετρική γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε f συνεχούς ως προς την ευθεία y=x. (με τον όρο ότι η f είναι ''1-1'' πάντα)
Παρ'όλα αυτά, στο σχολικό βιβλίο δεν τεκμηριώνεται κάπου ως θεωρία και,για τον λόγο αυτό, δεν ξέρω κατά πόσο είναι αποδεκτό στις εξετάσεις.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Δινονται οι γνησιως αυξουσες συναρτησεις f,g : (o,συν απειρο)--->R με τιμες θετικες για καθε x E R
Α)να δειχτει οτι η εξισωση f(x)+g(x)=f(x)g(x) εχει το πολυ μια θετικη λυση
Β)να αποδειξετε οτι υπαρχει ενα ακριβως ξ E (0.1) τετοιο ωστε f(ξ)=(1/2)f(1/2)+(1/3)f(1/3)+(1/6)f(1/6)
Γ) βρειτε το πεδιο ορισμου της m(x)={-2/ριζα (fof)(x)}+1
Παραθέτω την απάντηση για το Α), και αν προλάβω θα κάνω και τα άλλα!
Διόρθωση: Η h βγαίνει γνησίως φθίνουσα, αλλά λόγω κεκτημένης ταχύτητας έγραψα γνησίως αύξουσα!!!
Είσαι σίγουρος ότι η εκφώνηση σου είναι πλήρης; Θα έπρεπε τουλάχιστον να αναφέρει ότι η f είναι συνεχής...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
μπορείς να χρησιμοποιήσεις και την γνωστή |z1 +z2|^2 +|z1 -z2|^2 = 2 (|z1|^2 +|z2|^2)
Πολύ καλή και γρήγορη ισότητα, η οποία υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ως άσκηση της Α' ομάδας.
Καλό είναι να την έχεις κατά νου.
Προσοχή!! Να την αποδείξεις προτού την χρησιμοποιήσεις!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Αν α,β, γ ε C, να λύσετε την εξίσωση αz^2 +βz + γ = 0 (α διάφορο του μηδενός) όταν z ε C
Καμία ιδέα κανείς;
Όπως και στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, με συμπλήρωση τετραγώνου φτάνουμε στην
Από κει και πέρα θέτοντας και το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση τέτοια ώστε η οποία γίνεται
Μετά την λύση του τελευταίου συστήματος τελικά προκύπτουν οι λύσεις
και με αντικατάσταση στην σχέση (*) βρίσκουμε τις δύο τιμές του που ικανοποιούν την αρχική εξίσωση.
Συμπλήρωση: Οι παραπάνω λύσεις ισχύουν προφανώς για . Για οι λύσεις απλουστεύουν και γίνονται για και για
Oh boy, τόσο παρανοικό για πανελλήνιες. Μην σκοτίζεσαι τόσο με την άσκηση αυτή.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Νομίζω το βρήκα.Έστω z=χ+ψi.Τότε χ=2/ημα και ψ=συνα/ημα}=>χ^2=4/(ημα)^2<=>(ημα)^2=4/χ^2(1) και ψ^2=(συνα)^2/(ημα)^2=(1-(ημα)^2)/(ημα)^2=1/(ημα)^2 -1= (από (1)) χ^2/4-1<=>χ^2/4-ψ^2=1 και εννοείται θεωρώντας τους όποιους περιορισμούς λόγω του α (ημα=2/χ άρα χ>0)Και καταλήγεις τελικά ποιον κλάδο θα κρατήσεις...
EDIT:Τώρα panabarbes με πρόλαβες εσύ...;-)
Νομίζω σου ξέφυγε ένα "-" και άρα ο όρος με το χ είναι πρώτα.
Συμφωνώ, η υπερβολή είναι όπως στην έγραψε ο τσεστεράκος.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Δες την φωτό. Ο ένας κλάδος μπορεί να εξηγηθεί εύκολα. Αν χαράξεις την γραφική της παράσταση, θα δεις 2 κλάδους με εστίες στον x'x.Όμως, αε(0,π) επομένως ημα>0 => 2/ημα>0=> χ>0. Άρα, οι εικόνες που ψάχνουμε έχουν θετική τετμημένη. Τελικά, δεχόμαστε ως γεωμετρικό τόπο τον κλάδο που διέρχεται απ'τον άξονα Οχ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Καλησπέρα.Θα ήθελα τη βοήθεια σας σε 2 ασκήσεις...1)Να λυθεί η εξίσωση στο C: ημα^2 z^2 -4ημαz+4+συνα^2=0, αΕ(0,π)...Ν.δ.ο οι εικονες των ριζων της εξίσωσης κινουνται σε κλαδο υπερβολης......2)Έστω z1,z2EC με |z1-z2|=2. Aν για τον μιγαδικό z ισχύει: |z-z1|^2 + |z-z2|^2=4 να βρεθει ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και ν.δ.ο |z-z1|<= 2.......Thankssss
Μήπως α Ε (0,π/2) ; Όπως και να έχει, οι συντελεστές είναι πραγματικοί, οπότε θα χρησιμοποιήσεις διακρίνουσα.
Αν το διάστημα για το α είναι σωστό, τότε για α ε (0,π/2) υ (π/2,π) οι λύσεις θα σου βγουν:
z1=2/ημα + συνα/ημα i και z2=2/ημα - συνα/ημα i
Για α=π/2, z=2/ημα=2/ημ(π/2)=2
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
παιδια λεει μια ασκηση δινονται μιγαδικοι z,w ωστε : z διαφορο απ το 2 και w= 3-i/z-2. να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των z αν γνωριζετε οτι w ανηκει R...μια λυση;;
Ορίστε!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z
Δεν έχει κάτι το ιδιαίτερο,κάνεις τις πράξεις και βρίσκεις z=23/2 + 57i/2...Το μόνο που πρέπει να προσεχθεί είναι το (1+[i)^6=[(1+i)^2]^3=(2i)^3=-8i.
Προτού κάνει την διόρθωση, βρήκα το ίδιο αποτέλεσμα με τον chester.
Μετά την διόρθωση, πήγε ως εξής: (κάνε τον πολλαπλασιασμό με τον συζυγή,δεν το τελείωσα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
panabarbes
Εκκολαπτόμενο μέλος
Μπορεί κανείς να μου δώσει ένα χεράκι βοηθείας; Βρίσκομαι στην παράγραφο της αντίστροφης συνάρτησης και ο καθηγητής μου μας έδωσε κάτι δύσκολες ασκήσεις. Το σκεπτικό της λύσης θέλω μόνο!
1)Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1/x και h(x) =1/ x+2 με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ = (0, + άπειρο)
α) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε f o g = h
β) Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε φ o f = h
2) Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει (f o f) (x) + x = 0 για κάθε x ε R (1)
Να αποδειχτεί ότι: I) η f είναι συνάρτηση 1-1
ΙΙ) η f δεν είναι γνησίως μονότονη
ΙΙΙ) η f είναι περιττή
ΙV) f(0) = 0
Ευχαριστώ προκαταβολικά!
Θα σου απαντήσω για την δεύτερη άσκηση, δεν ξέρω αν σε πρόλαβα...
Ι) Από την δοσμένη σχέση ισχύει ότι: (fof)(x) + χ=0 <=> (fof)(x)=-x (1)
Επομένως για κάθε χ1,χ2 ε R με f(x1)=f(x2) => f(f(x1))=f(f(x2)) => (fof)(x1)=(fof)(x2) και λόγω της (1) : -x1=-x2 => x1=x2. Άρα η f είναι ''1-1''
ΙΙ) Υπάρχουν διάφορες λύσεις σε αυτό, σου παραθέτω αυτήν που χρησιμοποιούσα εγώ:
Έστω ότι η f είναι γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της. Τότε:
Για x1<x2 => f(x1)<f(x2) => f(f(x1))<f(f(x2)) και,λόγω της (1), -x1<-x2 => x1>x2,άτοπο, αφού υποθέσαμε ότι x1<x2
Όμοια δουλεύουμε και στην περίπτωση της γν. φθίνουσας. Επομένως, η f δεν διατηρεί μονοτονία.
ΙΙΙ)Εφόσον xεR, θέτοντας όπου x το f(x) έχουμε: (fof)(f(x))+f(x)=0 => f(f(f(x)))=-f(x) => f((fof)(x))=-f(x) και λόγω της (1) : f(-x)=-f(x). Φυσικά ισχύει και η πρώτη προυπόθεση, δηλαδή ότι για κάθε xεR και το -xεR,αφού το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, η f είναι περιττή.
ΙV) Εφόσον η f είναι περιττή, ισχύει: Για κάθε xεR και το -xεR. Επίσης, ισχύει ότι:
f(-x)=-f(x). Θέτοντας όπου x το 0, παίρνουμε: f(0)=-f(0) => 2f(0)=0 => f(0)=0
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.