Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
13-10-13
21:14
Θεωρούμε τους μιγαδικούς z για τους οποίους ισχύει I z+2i I = 1 + Im (z).
α)Να βρείτε το γ.τ.των εικόνων του z.
β)Να δείξετε ότι Ι z+2i I - I z-2i I = 2
γ)Να δείξετε ότι Ι z^2 + 4 I = 2 + IzI^2 και στη συνέχεια να βρείτε το γ.τ. των εικόνων των μιγαδικών w= z^2 +2
δ)Αν z1 + z2 δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς z και ισχύει Ι Ζ1- Z2 I = τετραγωνική ρίζα του 3 , να δείξετε ότι Ι Ζ1 + Ζ2 Ι > ή = 1
Κάτι δε μ' αρέσει στην εκφώνηση. Αν θέσουμε z=x+yi όπου x=Re(z) και y=Im(z) τότε έχουμε:
|z+2i|-1-Im(z)=|x+(y+2)i|-1-y=SQRT[(x^2)+((y+2)^2)]-y-1>=SQRT[(y+2)^2]-y-1=|y+2|-y-1>=y+2-y-1=1>0 για κάθε x, y ανήκουν R
Άρα |z+2i|-1-Im(z)>0 για κάθε z ανήκει C. Επομένως |z+2i|-1-Im(z) διάφορο 0 για κάθε z ανήκει C.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
22-06-13
01:32
Αυτο λυνεται νομιζω με x+yi ετσι;
Όχι δε χρειάζεται. Απλά εκμεταλλευόμαστε τις ταυτότητες |z_|=|-z|=|z| (z_ ο συζυγής του z). Συνεπώς η σχέση γράφεται ισοδύναμα:
z=(|z|-2)+(1-|z|)i (1)
Άρα έχουμε
|z|^2=[(|z|-2)^2]+[(1-|z|)^2] => |z|^2=2(|z|^2)-6|z|+5 => (|z|^2)-6|z|+5=0 => (|z|^2)-6|z|+9-4=0 =>
=> [(|z|-3)^2]-4=0 => (|z|-3-2)(|z|-3+2)=0 => (|z|-5)(|z|-1)=0 => |z|=5 ή |z|=1
Αν |z|=1 τότε από την (1) προκύπτει z=-1 (πράγματι |z|=|-1|=1)
Αν |z|=5 τότε από την (1) προκύπτει z=3-4i (πράγματι |z|=SQRT((3^2)+((-4)^2))=SQRT(25)=5)
Άρα z1=-1, |z1|=1 και z2=3-4i, |z2|=5
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Civilara
Περιβόητο μέλος
Ο Civilara αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Δανία (Ευρώπη). Έχει γράψει 4,344 μηνύματα.
21-06-13
21:25
Αν z^2+z+1=0 να αποδειξετε οτι z^65+(1/z^65)=-1
Ένας άλλος τρόπος είναι να λύσουμε την δευτεροβάθμιας εξίσωση με λύσεις z1, z2=συζυγήςz1 (εφοσον Δ=-3<0). Στη συνέχεια βρίσκουμε με θεώρημα De Moivre τα (z1^65) και (z1^(-65)) και τα προσθέτουμε. Εφόσον ισχύει η αποδεικτέα σχέση για τον z1 θα ισχύει και για τον z2 εφόσον είναι συζυγής του z1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.