Μπερδέυτηκα, τελικά υπάρχει ντετερμινισμός στη φύση ή όχι; γιατί πολλοί λένε ότι τον κατέρριψε η αρχή της απροσδιοριστίας.
ποιος να ξερει...
μπορεις να πεις οτι η πιθανολογικη φυση της κβαντομηχανικης ειναι αιτιακη αλλα μπορει να πεις και οχι...
αυτο που ειναι σιγουρο ειναι οτι η φυση λειτουργει με πιθανοτητες, αλλα οι πιθανοτητες αυτες ειναι ντετερμινιστικες.
η οχι.
χαχ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μήπως έχεις να προτείνεις κάποιο/α βιβλία σχετικά με το Χάος(πέρα απο τα pop science).Και τεχνικά να είναι δεν με πειράζει.
ενα επαρκως τεχνικο ειναι το chaos and fractals (peitgen). Μετα πας σε πανεπιστημιακα textbooks, εχει καποια online αλλα ενα επαρκως ευγλωτο ειναι της aligood, chaos: an introduction to dynamical systems. Αλλα θελουν μπολικα μαθηματικα...
Κατα ποσο εχει σχεση αυτο με την θεωρια του χαους;Γιατι ολα αυτα που εχω διαβασει απο τα ποστς σου συνειρμικα με οδηγουν και σαυτην την εννοια.Μπορει να κανω και λαθος που τα συνδεω.
Για να χαρακτηριστει ενα συστημα χαοτικο πρεπει οποσδηποτε η τροχια των τιμων του (δηλαδη η γραφικη απεικονηση ολων των τιμων του) να καλυπτει ολοκληρο το καρτεσιανο πεδιο.
Λιγακι πιο γενικα θα πρεπει ο φασικος χωρος των τιμων του να ειναι πυκνος και συνεχης.
Τα χαοτικα συστηματα παρουσιαζουν πυκνωσεις αλλα ειναι περιορισμενες και εξαρτατε απο ποσο "μακρυα" (ποσο μεγαλο συνολο τιμων) παρακολουθεις. Θεωρητικα σε απειρες επαναληψεις δεν παρουσιαζει ΚΑΜΙΑ κανονικοτητα ενα χαοτικο συστημα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ποιές είναι οι πρακτικές εφαρμογές της "θεωρίας του Χάους"
υγ.Δεν το ρώταω με ειρωνία.πραγματικά εχω ενδιαφέρον να μάθω
Η θεωρια του χαους βασικα δινει ενα εργαλειο με το οποιο μπορουμε να επεξεργαστουμε τις ντετερμινιστικες δομες που διεπουν φαινομενικα τυχαια συστηματα.
Το χαος δεν ειναι στοχαστικο, δηλαδη δεν αφορα πιθανοτητες, ειναι αιτιακο. Ως εκ τουτου οποιαδηποτε εφαρμογη εχει ξεκαθαρους κανονες αλλα φαινομενικα τυχαια αποτελεσματα μελετατε απο το χαος.
Απο το χρηματηστιριο και τον καιρο μεχρι τις διεθνεις σχεσεις και τον ελεγχο εναεριας κυκλοφοριας.
Δεν δινει ποσοτικα αποτελεσματα αλλα δεινει ενα συνεκτικο θεωρητικο πλαισιο μεσα στο οποιο μπορουμε να κατασκευασουμε καλυτερες ποσοτικες/προσεγγιστικες/υπολογιστικες μεθοδους για να εχουμε καλυτερα αποτελεσματα.
Για να γινω λιγακι πιο κατανοητος. Τον καιρο τον προβλεπουμε χρησημοποιοντας βασικα εξισωσεις ρευστοδυναμικης, οι σχετικες εξισωσεις ειναι τραγικα δυσεπιλυτες, ακομα και υπερ υπολογιστες δεν μπορουν να τις λυσουν με επαρκη ακριβια για αρκετα μεγαλο βαθος χρονου. Χρησημοποιοντας τη θεωρια του χαους στην μοντελοποιηση του καιρου μπορουμε να βαλουμε ευρη, ορια και μια γενικοτερη καθοδηγηση στο τροπο με τον οποιο ο υπολογιστης θα λυνει τις εξισωσεις ουτος ωστε να μην σπαταλαμε υπολογιστικη ισχη σε πραγματα που ξερουμε οτι δεν θα οδηγησουν πουθενα η να περιοριζουμε τα πιθανα αποτελεσματα για συγκεκριμενα χρονικα διαστηματα.
Καπως ετσι.
Βγαζει καθολου νοημα? Μετα πρεπει να γινω πολυ τεχνικος και ειναι δυσκολο (και για μενα δηλαδη, πανε χρονια που εχω να ασχοληθω με αυτα και τα ξεχναω)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Το ενα ειναι ενα μαθηματικο μοντελο που διερευνει τα ποιοτικα χαρακτηριστικα συστηματων που ειναι απολυτα αιτιοκρατικα (δηλαδη αν ξερεις με απολυτη ακριβια τις αρχικες συνθηκες μπορεις να συναγεις για οποιαδηποτε στιγμη του συστηματος την κατασταση τους). H αρχη της απροσδιορηστιας ειναι ενα μαθηματικο αποτελεσμα ενος συγκεκριμενου μαθηματικου φορμαλισμου της κβαντομηχανικης μιας θεωριας που προσπαθει να μελετησει ΠΟΣΟΤΙΚΑ τις φυσικες ιδιωτητες των υποατομικων σωματηδιων.
και σου ξαναλεω, δεν ειναι οτι ΕΜΕΙΣ σαν ανθρωποι δεν μπορουμε να τα δουμε, ειναι οτι ο κοσμος ετσι λειτουργει, ακομα και μεταξυ τους ολα τα σωματηδια δεν μπορουν να "ειδωθουν" αυτος ειναι ο λογος που τα σωματηδια ειναι και κυματα και σωματιδια, δεν τα βλεπουμε εμεις ετσι, απλα ετσι ειναι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πάντως παραμένει ντετερμινιστικό, όπως τα πάντα. Με την σημερινή τεχνολογία, έχουμε μόνο την δυνατότητα "αφής", στο μέλλον ίσως να μπορούμε να "δούμε". Να δούμε μέσω νέας τεχνολογίας εννοώ... Ο,πότε έ,ποτε?
ντετερμινιστικο σαν φιλοσοφια, αλλα επι του πρακτικου ειναι στοχαστικο, πιθανολογικο. Και εδω μπαινει ενα αλλο μεγαλο υπαρξιακο ερωτημα, πως προσδιοριζουμε την "υπαρξη". Γιατι αν την προσδιοριζουμε μεσω του αποτελεσματος τοτε ακομα και η φραση "ντετερμινισμος" ειναι λαθος.
be that as it may οχι δεν ειναι θεμα τεχνολογιας η αρχη της απροσδιορηστιας, ειναι αυτο που σου λεω, αρχη, ετσι δουλευει η φυση, ΟΤΙ και να κανουμε, και καινουρια φυσικη να ανακαλυψουμε δεν γινεται το μηλο να παει απο το εδαφος στο κοτσανι πανω στο κλαδι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πες ότι γίνεται να το "δούμε" το ηλεκτρόνιο τότε δεν θα έχει καταρριφθεί?
Μπορουμε να δουμε το ηλεκτρονιο. Αρκει να προσδιορισεις καλα τι εννοεις "δουμε".
Κοιτα τι γινεται, για να καταλαβεις λιγακι την αρχη της απροσδιοριστιας, δεν θα σου πω τον μαθηματικο φορμαλισμο και την απορεια του απο τους απειροπινακες της μητρομηχανικης προσεγγισης του heisenberg αλλα ενα πιο πρακτικο παραδειγμα.
Φαντασου οτι εισαι μεσα σε ενα δωματιο απολυτος σκοτεινο, φορας ακουστικα οποτε δεν ακους τιποτα. Το μονο αισθητηριο οργανο που εχεις ειναι η αφη σου.
Μεσα στο δωματιο πεταει καποιος μια μπαλα που κατρακυλαει στο εδαφος. Και εσυ θελεις πειραματικα να υπολογισεις την θεση και την ταχυτητα της μπαλας μια χρονικη στιγμη t.
Πως θα το κανεις αυτο? Εφοσον το μοναδικο αισθητιριο που εχεις ειναι η αφη σου θα πρεπει να πιασεις τη μπαλα τη χρονικη στιγμη t και να μετρησεις την αποσταση της απο τον τοιχο ξερω γω, η απο οποιο σημειο θελεις.
ΟΜΩΣ αν το κανεις αυτο, δεν μπορεις να μαθεις την ταχυτητα της μπαλας, αυτο γιατι για να μαθεις την ταχυτητα πρεπει να την μετρησεις σε δυο διαφορετικα σημεια, αλλα εσυ για να μετρησεις την αποσταση της μπαλας απο τον τοιχο αναγκαστικες να την σταματησεις για να την αισθανθεις με το χερι σου.
Θα μπορουσες βεβαια να μην την σταματησεις ισα ισα να την αφησεις να χαιδεψει το χερι σου σε ενα σημειο και μετα σε ενα αλλο σημειο να δεις ποσο γρηγορα πηγε απο το ενα στο αλλο και να δεις την ταχυτητα.
Αλλα τοτε δεν θα ξερεις την ΘΕΣΗ.
Πως μεταφερεται η αναλογια αυτη στα ηλεκτρονια?
Το ηλεκτρονιο πως μπορεις να το δεις? Θα πρεπει να πεσει επανω του ενα φωτονιο, να ανακλαστει και να φτασει στο ματι σου η στο οργανο που χρησημοποιεις.
Πως μπορει ενα ηλεκτρονιο να δει ενα αλλο ηλεκτρονιο? Με τον ιδιο τροπο, το ενα ηλεκτρονιο θα εκπεμψει ενα φωτονιο που θα παει στο αλλο ηλεκτρονιο.
Το προβλημα ειναι οτι το ΜΕΓΕΘΟΣ που εχει το φωτονιο ειναι ΣΥΓΚΡΗΣΙΜΟ με το μεγεθος που εχει το ηλεκτρονιο, συνεπως το να πεσει ενα φωτονιο πανω στο ηλεκτρονιο θα διαταραξει παρα πολυ η την θεση η την ταχυτητα του.
Ακομα πιο γενικα, ΟΛΑ τα υποατομικα σωματηδια (ακομα και ολα τα ατομα και οι περισοτερες χημικες ενωσεις) εχουν παρομοια μεγεθη, οποτε πολυ απλα δεν υπαρχει απολυτως κανενας τροπος το ενα σωματηδιο να δει με απολυτη ακριβια το αλλο.
Ακομα σε επιπεδο χορδων αν θεωρησουμε οτι εχει καποια βαση η θεωρια των χορδων ισχυει αυτο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
μα έστω η αρχή απροσδιοριστίας καταρριφθεί λόγω εξέλιξης της επιστήμης τότε τι θα λες?
Δεν γινετε να καταριφθει η αρχη της απροσδιορηστιας...Δεν ειναι κατι το οποιο το μαντεψαμε, προκυπτει θεωρητικα απο τις εξισωσεις της κβαντομηχανικης (οι πινακες δεν ειναι αντιμεταθετικα αντικειμενα) αλλα προκυπτει και διαισθητικα. Η φυση ετσι λειτουργει ειναι απο τα πραγματα που ξερουμε οτι ειναι σωστα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
σύμφωνα με όλα αυτά είναι δύσκολο να ορίσεις τι είναι χαοτικό ή όχι, γιατί εξαρτάται από την δική μας ισχύ στο να γνωρίζουμε πράγματα... όλα τα γεγονότα είναι ντετερμινιστικά και θα μπορούσαν να είναι προβλέψιμα ανάλογα με την δική μας ικανότητα να προσδιορίσουμε με απόλυτη ακρίβεια κάτι...
οχι αυτο δεν λεω τοση ωρα? Αρχη της απροσδιορηστιας, δεν ειναι θεμα "ακριβιας" η "γνωσης" ειναι εγγενης φυσικη ιδιοτητα του κοσμου, το συμπαν ειναι ντετερμινιστικο ναι αλλα το αποτελεσμα ειναι εγγενως χαοδες γιατι παρα τον ντετερμινισμο το μοριο θα παει αριστερα η δεξια βαση μιας τυχαιας πιθανοτητας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Για όσους δεν κατάλαβαν το σκεπτικό μου, καλύτερα ας μην κοροϊδέψουν
ουτε εσυ δεν καταλαβες το σκεπτικο σου αδερφε...
πρωτα απο ολα τα χαοτικα μαθηματικα δεν πρεπει να τα μπερδευουμε με τα στοχαστικα. Το χαος αφορα ντετερμινιστικα συστηματα...
η κβαντομηχανικη ειναι εγγενος στοχαστικη δεδομενης της αρχης της απροσδιορηστιας. Υποθετω λογο ηλικιας και ενθουσιασμου οτι οσα ξερεις για την κβαντομηχανικη ειναι απο εκλαικευτικα βιβλια? Η αρχη της απροσδιορηστιας λεει οτι η θεση και η κινητικη ενεργεια ενος σωματηδιου δεν ειναι δυνατων να ειναι απολυτα γνωστες ταυτοχρονα. Οπερ σημαινει οτι εγγενος δεν γινεται να ξερεις τις αρχικες συνθηκες του συστηματος.
στην φιλοσοφια της επιστημης οταν λεμε "θεωρια" εννοουμε κατι το οποιο ειναι αποδεδειγμενο ως αληθες. Αυτο που λες εσυ ειναι ΕΙΚΑΣΙΑ.
τεσπα, αν οντως σε ενδιαφερουν αυτα καλο θα ηταν να αρχισεις να διαβαζεις τα μαθηματικα τους, ειναι πιο πεζα και ταυτοχρονα πιο πλουσια και μαγικα αν μαθεις τις τεχνικοτητες, για παραδειγμα αυτο που λεμε "χρονος" οταν δεις πως το δουλευουμε σαν μαθηματικη οντωτητα θα καταλαβεις ποσο περιεργο πραγμα ειναι.
τεσπα, ξεκινα το διαβασμα, σοβαρα, ειναι ωραια αυτα τα πραγματα. Πολυ ωραια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1 ενταξει εγω δεν εχω την παραμικρη ιδεα για το τι ειναι η θεωρια
του Χαους εσεις ομως που την ξερετε σε τι σας χρησιμευει????
Ενοω τι μπορει να μαθει κανεισ απο αυτην
μα τι διαολο μπαινεις σε ενα θρεντ το οποιο γραφει ΤΙ ειναι η θεωρια του χαους σε τι χρησημευει και ρωτας τι ειναι? ΔΙΑΒΑΣΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΟΣΤ ελεος!
μελεταει την εξελιξη απροβλεπτων συστηματων, αυτο κανει, πχ καιρος, χρηματηστιριο κτλ κτλ
2 Ποιος ανακαλυψε αυτην την θεωρια??
η πρωτη φορα που συνανταμε μελετη χαοτικου συστηματος ειναι απο τον poincare, η πρωτη αναφορα σε ενα ολοκληρο μαθηματικο δομημα που μελετα τετοια συστηματα ερχεται απο τον birkoff και μετα εχουμε ενα καρο μαθηματικους που ασχοληθικαν, lorenz, manderblot, cantor...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
SWAMPS:
Οι μεταφορα της γνωσης (οποιας γνωσης απο τις καλυτερη μεχρι τις χειροτερη) ειναι το ΕΝΑ πραγμα που μας ξεχωριζει απο τα υπολοιπα ζωα. Ειναι βαθυτατη πεποιθηση μου οτι οι ανθρωποι που ΧΡΕΩΝΟΥΝ για να μεταφερουν γνωσεις καθυστερουν την εξελιξη της ανθρωποτητας...
Fandango:
Φαντασου το συστημα:
f(x) = x + c και x = f(x) (δηλαδη χωρις το τετραγωνο)
Αν ξεκινησεις με αρχικη τιμη του χ = 0, και δινεις τιμες στο c, τι θα βγαλεις?
Αν c = 1 το συστημα θα ειναι
f(0) = 0 + 1
f(1) = 1 + 1
f(2) = 2 + 1
f(3) = 3 + 1
κτλ δηλαδη η τροχια του συστηματος θα ειναι μια ευθεια που παει προς το απειρο.
Αν τωρα c = 2 τι γινετε? Ε ειναι σχετικα απλο, οι τροχια του συστηματος θα ειναι η ιδια με την προηγουμενη απλα θα ξεκιναει απο το 2 αντι για το 1.
Αν c = 10 παλι το ιδιο αλλα θα ξεκιναει απο το 10 κτλ.
Δεν χρειαζεται για ΚΑΘΕ τιμη του c να υπολογιζεις τροχιες απο την αρχη, αν ξερεις ΜΙΑ τροχια μπορεις να συναγεις και ολες τις υπολοιπες. Ειναι αναλογες, δηλαδη η τροχια για c = 0.000001 ειναι μια ευθεια μετατοπισμενη κατα 0.000001 απο την τροχια του c = 0
Στο χαοτικο συστημα η τροχια c = 0 και c = 0.000001 δεν εχουν ΚΑΜΙΑ σχεση. Και μαλιστα στο χαοτικο συστημα ΟΣΟ μικρη και να ειναι η διαφορα οι τροχιες (μετα απο αρκετες επαναληψεις) ειναι ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες. Αντιθετα στο προβλεψιμο συστημα οι τροχιες ειναι ιδιες και αναλογες.
Επίσης αδυνατώ να κατανοήσω την έννοια "οι τιμές έλκονται από ένα σημείο". Με τα μαθηματικά μου να βρίσκονται λίγο παραπάνω από το επίπεδο Λυκείου, γνωρίζω ότι στην f(x) = x² + c το c ουσιαστικά μετατοπίζει την γραφική παράσταση κατά τον άξονα y = f(x). Οπότε μάλλον έχω κάποια σοβαρή έλλειψη
Το ειχα εξηγησει αυτο αλλα μαλλον οχι αρκετα αναλυτικα στο πρωτο ποστ μου.
Δεν μιλαμε για τις τιμες της εξισωσης f(x) = x^2 + c αλλα για τις τιμες που παιρνει ΟΛΟΚΛΗΡΟ το συστημα f(x) = x^2 + c ΚΑΙ χ = f(x).
TEΡΑΣΤΙΑ διαφορα γιατι κοιτα να δεις, η εξισωση
f(x) = x^2 + c για c =1/4 τι τιμες παιρνει?
f(0) = 1/4
f(1) = 1 + 1/4 = 5/4 = 1.25
f(2) = 4 + 1/4 = 17/4 = 4.25
f(3) = 9 + 1/4 = 9.25
f(4) = 16 +1/4 = 16.25
κ.ο.κ βασικα εχεις μια παραβολη κατω φραγμενη απο το 1/4, ναι?
Αν παρεις το γραφιμα ΟΛΩΝ των γραφικων παραστασεων για ΚΑΘΕ τιμη του c αναμεσα στο 1/4 και το -2 τι θα σου βγει? Απλα θα σου βγουν παραβολες η μια κατω απο την αλλη καθε φορα κατω φραγμενες απο την τιμη του c. Ετσι δεν ειναι?
Συνεπως αν σου πω, τι γραφικη παρασταση θα εχεις αν c = -1.8134560009815 μπορεις πολυ ευκολα να μου απαντησεις οτι ειναι μια παραβολη κατω φραγμενη απο το (αυτο που εγραψα τεσπα). Και αν το c = -1.8134560009816? Θα ειναι μια παραβολη παλι 0.0000000000001 πιο κατω.
Κοιτα τωρα το συστημα f(x) = x^2 + c ΚΑΙ χ = f(x) τι τιμες παιρνει:
f(0) = 0 + 1/4 = 0.25
f(1/4) = 1/8 + 1/4 = 3/8 = 0.375
f(3/8) = 9/64 + 1/4 = 25/64 = 0.390625
f(25/64) = [...] = 1646/4096 = 0.40185546875
κ.ο.κ αν το βαλεις σε ενα υπολογιστη ολο αυτο το πραγμα θα δεις οτι μετα απο αρκετες επαναληψεις οι τιμες ολες κινουνται προς το 0.5 (1/2 δηλαδη).
Τωρα προσεξε για την τιμη c = 1/4 = 0.25 το συστημα δεν ειναι ακομα χαοτικο, δηλαδη αν παρουμε το 0.250001 μπορουμε παλι να προβλεψουμε οτι το συστημα θα παει παλι στο 1/2, με διαφορετικο ρυθμο βεβαια αλλα παλι εκει θα παει. Το συστημα γινεται χαοτικο καπου στην τιμη του c = -1.8.
Aπο εκει και περα ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να ξερεις τι τροχιες θα παρει το συστημα ΕΚΤΟΣ αν τις υπολογισεις για ΟΛΕΣ τις τιμες τους (πραγμα αδυνατων) και μαλιστα για ΟΣΟ μικρη διαφορα και να παρεις ΠΑΛΙ δεν μπορεις να βγαλεις συμπερασματα για τις τροχιες.
Δηλαδη θυμησου το προηγουμενο συστημα που ηταν απλα το f(x) = x^2 + c
Οπως σου ειπα για c = -1.8 η τροχια ειναι μια παραβολη κατω φραγμενη απο το -1.8, μπορεις πολυ ευκολα να προβλεψεις οτι για το c = -1.800000001 παλι θα εχεις μια παραβολη λιγο πιο κατω.
Για το ΧΑΟΤΙΚΟ συστημα ομως, αυτη η διαφορα δινει ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες τροχιες.
Καταλαβες?
Το εξηγησα λιγο καλυτερα?
Για να το δεις λιγακι οπτικα πρεπει να καταλαβεις τι εννοουμε "η τροχια του συστηματος", η τροχια του συστηματος (ιστοδιαγραμμα) ειναι κατι σαν την γραφικη παρασταση μιας συναρτισης μονο που δεν αφορα ΜΙΑ συναρτηση αλλα ενα συστημα ολοκληρο.
Σε αυτη τη περιπτοση δηλαδη εχεις μια ευθεια ΚΑΙ μια παραβολη, η γραφικη παρασταση του συστηματος ειναι οι τιμες της ευθειας που αντιστιχιζονται πανω στην παραβολη, η οποια τιμη της παραβολης αντιστιχειζεται πανω στην ευθεια, η οποια καινουρια τιμη της ευθειας παει πανω στη παραβολη κτλ.
Φαντασου πως κανεις την γραφικη παρασταση μιας συναρτησης πανω στους καθετους αξωνες του καρτεσιανου επιπεδου μονο που τωρα αντι για ευθειες οι αξωνες ειναι μια παραβολη και μια ευθεια.
(μαλιστα αν το πας ακομα πιο τεχνικα το θεμα, οι τιμες του συστηματος προσδιοριζουν ενα τοπολογικο χαρτη που προσδιοριζεται απο την παραβολη και την ευθεια...)
Γιατί αν έχει καθορισμένο αποτέλεσμα και ξέρουμε τις αρχικές του συνθήκες, τότε μόνο η υπολογιστική μας ισχύς μας περιορίζει, αλλά το γεγονός είναι ότι θεωρητικά μπορεί να προβλεφθεί.
Οχι, γιατι ποση υπολογιστη ισχυς χρειαζεται για να μετρησεις ολους τους πραγματικους αριθμους απο το 0 μεχρι το 1?
Φαντασου την προβλεψη του καιρου που ειναι ενα χαοτικο συστημα οκ?
Για να προβλεψεις τον καιρο χρειαζεσαι ορισμενες εξισωσεις που αφορουν την θερμικη κινηση ρευστων, την περιστροφη της γης κτλ.
Μετραμε τις αρχικες συνθηκες, μεχρι 7 μερες μπορουμε να προβλεψουμε οτι το βαρομετρικο, η θερμικη κινηση κτλ θα καταληγουν σε 1-2-5-10 σταθερα σημεια οποτε παρα το γεγονος οτι ανεξαρτητα απο το οτι πρακτικα δεν μπορουμε να μετρησουμε τις αρχικες συνθηκες ΤΕΛΕΙΑ ξερουμε οτι ΟΛΟ το ευρος ας πουμε θερμικης μετακινησης ενος αεριου ογκου σημαινει οτι θα βρεξει στην αθηνα.
Δηλαδη ειτε στην θεσαλλονικην το βαρομετρικο ειναι 10 ειτε 15 παλι θα βρεξει στην αθηνα, αρα η προβλεψη μας ειναι καλη.
Ομως μετα απο εφτα μερες το συστημα γινεται χαοτικο και ετσι αν το βαρομετρικο στην θες ειναι 10 στην αθηνα θα βρεξει αν ειναι 10.0000001 θα κανει λιακαδα.
Το προβλημα δεν ειναι μονο υπολογιστικο για δυο λογους, μετα απο αρκετες επαναληψεις οι αλαγες στην τροχια ειναι μεγαλες ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ απο το ποσο καλα γνωριζουμε τις αρχικες συνθηκες, ο μονος τροπος να ειναι προβλεψημο το συστημα ειναι να γνωριζουμε ΑΠΕΙΡΟΣ καλα τις αρχικες συνθηκες και καθε φορα να κανουμε προβλεψη για ΑΠΕΙΡΟΣ μικρη διαφορα της μεταβολης του συστηματος.
Αυτο δεν γινεται ουτε θερωρητικα αλλα ΣΙΓΟΥΡΑ δεν γινεται πρακτικα γιατι μετρας τις αρχικες συνθηκες οκ? Μετρας πχ τη θεση του ζαριου. Με ποση ακριβια τη μετρας?
Με χαρακα εχει τραγικα κακη ακριβια στο 0.01 του μετρου, μετρας με μικρομετρο φτανεις στα 0.0001 του μετρου, παλι ειναι κακο, μετρας με λειζερ φτανεις στα 0.000000001 του μετρου, μετα? Μετα πεφτεις πανω σε ενα ΤΟΙΧΟ που λεγεται αρχη της απροσδιοριστιας του heizenberg που σου λεει (κραδαινοντας ενα τεραστιο κωλοδαχτυλο) οτι ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να μετρησεις με απολυτη ακριβια ΟΤΙ και να κανεις, η ιδια η φυση σου λεει οτι δεν γινεται.
Οποτε εισαι εκ των πραγματων περιορισμενος απο την ιδια τη φυση, το συστημα ειναι χαοτικο καισ την καλυτερη περιπτοση θεωρια του χαους μπορει να σου πει οτι μετα απο 7 μερες το συστημα ειναι χαοτικο και δεν μπορεις να κανεις καμια ποσοτικη προβλεψη, αν και μπορεις ποιοτικα να ξερεις οτι την ανοιξη εχει ΓΕΝΙΚΑ καλες θερμοκρασιες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Θα στο παρω απο την αρχη chaos, θα σου εξηγησω πως λειτουργει ενα διαγραμμα διχοτομισης αλλα ΔΕΝ γινεται να σου δωσω μηχανικα αναλογα, οποτε θα πρεπει να ακολουθησεις λιγακι τα υποτηποδη μαθηματικα που απαιτουνται.
Το διαγραμμα διχοτομισης ειναι μια γραφικη απεικονιση των σημειων που ελκουν τις τροχιες ενος δυναμικου μη γραμμικου συστηματος σε συναρτηση με το παραγωντα διχοτομισης. Οταν λεμε οτι ενα σημειο ελκει την τροχια φαντασου το σαν το οριο μιας συναρτησης, δηλαδη μετα απο ενα επαρκη αριθμο επαναληψεων ολες οι τιμες που παιρνει το συστημα εχουν την ταση να πηγαινουν προς εκεινο το σημειο.
Εχουμε το διονυμικο συστημα:
f(x) = x^2 + c και χ = f(x)
Το διαγραμμα διχοτομισης του ειναι αυτο:
Για να καταλαβεις τι σημβαινει στον οριζοντιο αξωνα εχουμε τις τιμες του c και στον καθετο αξωνα εχουμε το σημειο που ειναι ελκυστης, δηλαδη το σημειο που μετα απο αρκετες επαναληψεις "τραβαει" ολες τις τιμες (τεχνικα τελειως το ενα σημειο τραβαει το αλλο αποθει αλλα για λογους απλοτητας ας πουμε οτι ολα τραβανε).
Για λογους ευκολιας ξεκιναμε με αρχικη τιμη του x = 0 και θετουμε τιμες στο c για να δουμε τι θα βγει.
Οποιεσδηποτε τιμες του c μεγαλυτερες απο 0.25 και μικροτερες απο -2 δεν μας απασχολουν γιατι φευγουν στο απειρο οπως πολυ ευκολα μπορεις να διαπιστωσεις:
για c = 1Q:
f(0) = 0 + 1
f(1) = 1 + 1
f(2) = 4 + 1
f(5) = 25 + 1
κ.ο.κ παει στο απειρο
Αυτες λεγονται τετριμενες τιμες και δεν μας απασχολουν γιατι το συστημα δεν παρουσιαζει καποια περιεργη συμπεριφορα.
Θα παρουμε ολες τις τιμες του c < 0.25 και > -2 (μικροτερες
Οι τιμες του c απο 0.25 εως και -0.75 ολες οι τιμες ελκονται απο ενα σημειο (για το 0.25 αυτο ειναι το 1/2 για το -0.75 αυτο ειναι το -1/2.
Το ιστοδιαγραμα για το 0.25:
Ενω το ιστοδιαγραμμα για το -0.75:
Στο σχεδιαγραμμα διχοτομισης αυτο φαινεται σαν μια μονο γραμμη (αυτη η μεγαλη που ξεκιναει απο τα δεξια και καπου στη μεση χωριζει σε μια διχαλα).
Οταν ομως ξεπερασουμε το -0.75 γινεται κατι περιεργο, ολες οι τιμες ελκοντε απο ΔΥΟ σημεια (οπως ειπα πριν απο το ενα ελκοντε απο το αλλο αποθουντε, αλλα για λογους απλοτητας...)
Για παραδειγμα για το 0.8125 οι τροχιες πανε στα -3/4 και -1/4:
Στο διαγραμμα αυτο θα φανει ως η πρωτη διχαλα, το συστημα απο κει και περα θα λειτουργει βαση αυτων των δυο τιμων. Προχοροντας τις τιμες του c καθε ενα απο αυτα τα δυο σημεια θα ξαναδιχοτομιθει σε δυο καινουρια
Για παραδειγμα για c = -1.3 το συστημα παιζει αναμεσα σε τεσσερεις τιμες:
Εδω το διαγραμμα διχοτομισης ειναι το σημειο στο οποιο σπαει σε 4 διχαλες.
Μεχρι τωρα αν προσεξες για αρκετες τιμες του c το συστημα παρουσιαζει μια σταθερη συνεπεια στις τροχιες του. Δηλαδη για ΟΛΕΣ τις τιμες αναμεσα στο 0.25 και το -0.75 το συστημα σταθεροποιηται σε ΕΝΑ μονο σημειο. Μετα για καμποσες τιμες του c σε δυο κτλ.
Το συστημα ΔΕΝ ειναι χαοτικο εκει γιατι αν ΞΕΡΕΙΣ οτι αναμεσα στο 0.25 και το -0.75 το συστημα εχει μονο ενα ελκυστη μπορεις βασιζομενος στο 0.25 να βγαλεις ΠΟΣΟΤΙΚΟ συμπερασμα για το 0.26 και για το 0.27 και για το 0.28...
ΟΜΩΣ καπου εκει στο 0.8κατι το συστημα γινεται χαοτικο. Αυτο γιατι για μια ΟΣΟΔΗΠΟΤΕ μικρη μεταβολη του c υπαρχουν (η δεν υπαρχουν) καινουριες διχοτομισεις.
Δηλαδη αναμεσα στο 0.800000 και το 0.8000001 εχουν γινει διχοτομισεις (αυτο θα φαινοταν αν εκανες "ζουμ" στο διαγραμμα διχοτομισης) και αν εκανες περισοτερο ζουμ πχ αναμεσα στο 0.8000001 και το 0.80000000000001 ΠΑΛΙ θα ειχε καινουριες διχοτομισεις. Αυτο λεγεται πυκνοτητα, για οσοδηποτε μικρη μεταβολη υπαρχουν καινουρια σημεια ελκυστες. Πρακτικα ολα θα μοιαζουν μεταξυ τους πχ για μεταβολη 0.1 και για μεταβολη 0.00000001 οι διχοτομισεις θα ειναι παρομοιες (ποιοτικα - δηλαδη θα εμφανιζονται με αναλογους ρυθμους και σε παρομοια σημεια) (ενω για 0.1 και 0.01 μπορει να ειναι αρκετα διαφορετικες). Αυτο λεγεται αυτοομοιοτητα.
ΠΑΡΟΛΑ ΑΥΤΑ οπως βλεπεις στο διαγραμμα διχοτομισης υπαρχουν ορισμενες περιοχες που ειναι σαν "τρυπες" δεν καλυπτονται απο συνεχεις διχοτομησεις. Αυτα τα σημεια ειναι σημεια στα οποια το χαος παρουσιαζει προβλεψιμη συμπεριφορα, πχ καπου προς τα αριστερα που βλεπεις ενα πραγμα σαν καθετο "κενο" στο διαγραμμα διχοτομισης, εκει το συστημα παιρνει παλι ενα γκρουπ συγκεκριμενων ελκυστων και μετα ξαναγινεται χαοτικο.
για παραδειγμα αυτη η εικονα ειναι μια 1000χ μεγεθυνση του κεντρικου σημειου εκεινου του μεγαλου κενου προς τα αριστερα, ειναι ενα πολυ πολυ μικρο κοματακι. Αυτοομοιοτητα,για λιγο το συστημα γινεται μη χαοτικο και ξανα χαοτικο.
----------------------
Σε καλυψα για το τι εστι ενα διαγραμμα διχοτομισης?
Ντερμινιστικο ειναι ενα συστημα που εχει καθορισμενο αποτελεσμα αν οι αρχικες του συνθηκες ειναι γνωστες.
Τυχαιο ειναι ενα συστημα που ακομα και αν οι αρχικες του συνθηκες ειναι γνωστες το αποτελεσμα δινεται βαση μια κατανομης πιθανοτητας.
Τα χαοτικα συστηματα ΜΟΙΑΖΟΥΝ με τυχαια αλλα ΔΕΝ ειναι γιατι στην θεωριτικη περιπτωση της τελειας γνωσης των αρχικων συνθηκων γνωριζουμε με απολυτη ακριβια το αποτελεσμα.
Στα μαθηματικα ο κλαδος που αφορα τα τυχαια συστηματα λεγεται "στοχαστικη αναλυση"
Ενα παραδειγμα στοχαστικου συστηματος ειναι η κινηση brown, η τυχαια κινηση των μοριων ενος αεριου που βρισκονται σε ενα δοχειο. Εκει ακομα και αν ειναι γνωστες οι αρχικες συνθηκες το αποτελεσμα δεν ειναι ντετερμινιστικο λογο αρχης απροσδιοριστιας. Αλλο παραδειγμα στοχαστικου συστηματος ειναι τα path integrals στην κβαντικη ηλεκτροδυναμικη
P.s αν εστω και ΔΥΟ ανθρωποι κατσουν και διαβασουν αυτο το ποστ θα φαω το αριστερο παπουτσι μου. Πολυ αμφιβαλω ακομα και αν ο ιδιος ο great chaos το διαβασει:p ειναι μακρυ και τεχνικο.
P.s.2 ΔΕΝ ΓΙΝΕΤΑΙ να απλοποιηθει περισοτερο απο τοσο, ειναι ηδη πολυ απλο, ο πιο ευκολος τροπος να το μαθετε χωρις πολυ διαβασμα ειναι να σας το διδαξω live πραγμα αδυνατων απο εδω. Οποτε ΟΣΟΙ εκατσαν και το διαβασαν κουραγιο σας...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Με ενοχλουσε οτι χρησημοποιουσες "τη θεωρια του χαους" σαν δικαιολογια για τα αδικαιολογητα.
Ενα σωμα στο μεγεθος του ερις και του σερες ΔΕΝ αλαζει τροχια ετσι ευκολα, και ξερεις πως το ξερω αυτο? Ειναι ενα συμπερασμα που μπορεις να βγαλεις ΧΡΗΣΗΜΟΠΟΙΟΝΤΑΣ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ. Η οποια θα σου πει οτι οι αλαγες στην τροχια του, οι μεταπτωσεις και διαταραχες ενος σωματος τετοιου μεγεθους εχουν συγκεκριμενο ευρως. Ειναι χαοτικες αλλα μεσα σε καποια πλαισια.
Τεσπα κανε μου τη χαρη, δεν εκνευριστικα που δεν ξερουν τι ειναι μη γραμμικη εξισωση εκνευριστικα με τους "συναισθηματισμους" σε μια κατα τα αλλα "τεχνικη" θεωρια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πάντως αν σε ένα σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του για οποιαδήποτε επανάληψη δωσμένου του c τότε γιατί δεν υπάρχει προβλεψιμότητα;
Να σου δωσω ενα μηχανικο παραδειγμα.
Ριχνεις ενα ζαρι, η κινηση του ζαριου ειναι μια σχετικα απλη μελετη νευτωνιας μηχανικης.
Αν ξερεις ακριβως την αρχικη θεση του ζαριου, την ενεργεια με την οποια εφυγε, τις αποστασεις κτλ μπορεις να προβλεψεις σε ποιο αριθμο θα πεσει.
Ας πουμε θα παρεις τις εξισωσεις οι οποιες θα ειναι μια για την ενεργεια, μια για την πιεση και την κινηση του αερα, μια το μεγεθος του ζαριου, μια για τις γωνιες του κτλ.
Μετρας λοιπων και βλεπεις οτι το ζαρι ειναι στην θεση 2μ και εχει ενεργεια ριψης 5j ωραια?
Βαζεις τα νουμερα στις εξισωσεις και σου βγαινει οτι θα πρεπει να πεσει με το 3 στην κορυφη.
Το ριχνεις και πεφτει με το 4...γιατι?
Γιατι οι εξισωσεις που διεπουν την κινηση ειναι μη γραμμικες (πχ χ = 1/2at^2) και οχι μονο ειναι μη γραμμικες αλλα ειναι και δυναμικες γιατι πχ στο χρονο = 1 η καινουρια θεση του ζαριου αλαζει την ενεργεια του η οποια αλαγη της ενεργειας θα αλαξει τη θεση που θα ξανα αλαξει την ενεργεια. Δηλαδη τα αποτελεσματα των εξισωσεων τροφοδοτουν τις ιδιες τις εξισωσεις.
Αυτο δεν θα ηταν προβλημα αν δεν εμπαινε η λεξη "ακριβως" μεσα.
Ποια ειναι η αρχικη θεση του ζαριου? Ειναι τα 2μ? Μηπος ειναι τα 2.2? Οχι η μεζουρα ειναι ακριβης. Ναι αλλα ειναι τα 0.002? Οκ θα μετρησουμε με λειζερ. Ναι αλλα το λειζερ φτανει μεχρι 0.00000002 ακριβια, μετα εχεις κβαντικα φαινομενα μεσα. Ομως σε ενα δυναμικο συστημα αυτη η 0.000000002 αποκλιση μετα απο καμια 10αρια επαναληψεις αλαζει ΤΕΛΕΙΩΣ το αποτελεσμα.
Το χαος δεν ειναι ποσοτικη αλλα ΠΟΙΟΤΙΚΗ αναλυση, μας λεει πχ οτι το συστημα του ζαριου εχει ορισμενα μοτιβα, πχ αν το ριχνεις απο υψος 2 μ εχει τη ταση να πεφτει κυριως στο 4 και το 6, πεφτει σε ολα αλλα περισοτερες φορες εκει. Ετσι προσπαθεις να κανεις μια ποιοτικη αναλυση της καταστασης.
Δηαλδη αν παρουμε παλι αυτο το συστημα που εχω γραψει στο πρωτο ποστ.
Ξερουμε ποιες τιμες θα παρει για c = 1.4 δυστοιχως στην πραγματικοτητα αυτο το 1.4 δεν το ξερουμε ποτε ακριβως. Ξερουμε για την περιοχη 1.4 συν η πλην 0.0000001, αφου εχεις φτιαξει αυτο το διαγραμα bifurcation θα πας σε αυτη τη περιοχη και θα δεις εκει τι συμπεριφορα παρουσιαζει το συστημα, και παλι θα ειναι ομως προσεγκιση γιατι αν "ζουμαρεις" περισοτερο στο 0.000000000001 ας πουμε θα εχει παλι παρομοια οπτικα (αυτοομοιοτητα) συμπεριφορα αλλα ΟΧΙ ΑΚΡΙΒΩΣ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
πχ στο δευτεροβαθμιο συστημα μπορεις να προβλεψεις σε ποια τροχια θα καταληξει αν το c ειναι 1.81?
ξερεις που θα καταληξει για το 1.8, ξερεις για το 1.81? Οχι και αυτο ειναι το ολο νοημα.
fandango:
μπαινεις σε ενα πολυ δυσκολο θεμα που απτεται περισοτερο της φιλοσοφιας, και το το θεμα ειναι το εξις:
Εστω οτι εχεις ενα κουτι, δεν μπορεις να δεις τι εχει μεσα, ουτε να ακουσεις ουτε να οσφρηστεις. Δεν εχεις απολυτος καμια αλληλεπιδραση με το εσωτερικο του κουτιου. Και ουτε θα μπορεσεις ποτε να εχεις.
Το ερωτημα ειναι το εξις ΥΠΑΡΧΕΙ κατι μεσα στο κουτι?
i.e. ενα χαοτικο συστημα δεν ειναι προβλεψιμο, η θεωρια του χαους μας λεει ΠΟΤΕ σταματαει να ειναι προβλεψιμο και τι συμπεριφορες παρουσιαζει αυτη η μη προβλεψημοτητα του, το ερωτημα ειναι δεδομενου οτι δεν ειναι προβλεψιμο ο ντετερμινισμος του ειναι προδιαγεγραμενος?
Η ανικανοτητα μας (η θεμελιοδης και πληρη ανικανοτητα μας) να εχουμε εκ των προτερων γνωση για την καταληξη του στερει την ελευθερια του συστηματος η οχι?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πάντως στην αναφορά για "γραμμικές" συναρτήσεις δεν έχει γραφτεί ο ορισμός σύμφωνα με την κλασική Γραμμική Άλγεβρα αλλά έχει στηριχτεί περισσότερο στην ακουστική συσχέτιση των λέξεων γραμμή-γραμμικό (πράγματι, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης ψ = αχ+β έχει σαν σχήμα μια ευθεία γραμμή).
Πάντως ο κανονικός ορισμός είναι ψ(α+β)=ψ(α)+ψ(β) όπου αν θέσουμε α = β= 0 έχουμε ψ(0+0)=ψ(0)+ψ(0) άρα ψ(0) = 2 ψ(0) άρα ψ(0) = 0 άρα το διάγραμμα περνάει απο το σημείο (0,0).
Άρα γραμμικές είναι οι εξισώσεις της μορφής ψ=αχ (με άλλα λόγια ψ=αχ+β, με β=0.
lol ελα ρε ανθρωπα του θεου, και τι σκοπο εξυπηρετει αυτο?
ενταξει *τεχνικα* εχεις παραληψει την ομογενεια...
γραμμικο λεγεται το συστημα που υπακουει στην προσθεση
f(x+y) = f(x) + f(y)
KAI ειναι ομογενες ητοι
f(ax) = af(x)
Τεχνικα μιλοντας παλι μη γραμμικο ειναι το συστημα το οποιο δεν ειναι γραμμικο, δηλαδη δεν υπακουει στην αρχη της υπερθεσης (που πρακτικα ειανι αυτο που λεμε παραπανω).
ρουμανα: μην προσπαθεις να συναγεις συμπερασματα απο το κειμενο που εχει παρατεθει με την αμμο, δεν περιγραφει τιποτα, αληθεια ειναι μια χαζομαρα που απλα θελει να καταληξει στο εντυποσιακο "αυτο ειναι το χαος οτι δεν υπαρχει χαος".
ο πιο απλος τροπος να περιγραψεις τη θεωρια του χαους ειναι αυτος:
το χαος αφορα την μελετη συστηματων που παρουσιαζουν φαινομενικα τυχαια συμπεριφορα ΠΑΡΟΤΙ ειναι απολυτα ντετερμινιστικα.
η θεωρια του χαους δεν καταληγει στο συμπερασμα "δεν υπαρχει χαος" ΞΕΚΙΝΑΕΙ ΜΕ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΥΠΟΘΕΣΗ.
Παρε παραδειγμα το πιο απλο χαοτικο συστημα το εκρεμες. Το χαος δεν θα μας πει οτι το συστημα δεν ειναι τυχαιο, το ξερουμε αυτο, θα μας πει ομως οτι αναλογα με τις αρχικες συνθηκες εχει την ταση να παρουσιαζει ταδε συμπεριφορες και οτι μετα απο καποιες ταλαντωσεις χανουμε καθε ικανοτητα προβλεψης (ποσες? Αυτο θα μας το πει η θεωρια του χαους)
Καταλαβαινεις?
Το κειμενο που εχω γραψει ΔΕΝ εχει απαιτητικα μαθηματικα, διαβαστε το και θα καταλαβεται τι ειναι το μη γραμμικο δυναμικο συστημα και κατ επεκταση τι ειναι η θεωρια οτυ χαους (η μελετη των συμπεριφορων αυτου του συστηματος δηλαδη)
Δυστοιχος δεν γινεται να πεις με τελειως απλα λογια τι ειναι η θεωρια του χαους γιατι καταληγεις σε βλακωδεις απλουστευσεις
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Παραδειγμα:
"Ο αινσταιν ειπε οτι ολα ειναι σχετικα"
HE SO DID NOT
Και η εξηγηση με την αμμο που δινει ο παραπανω μπλογκερ ειναι επαρκως βλαμενη και αυτο μονο και μονο για να καταληξει στην χαζοσυναισθηματικη ατακα "η θεωρια του χαους λεει οτι δεν υπαρχει χαος"
Οχι δεν λεει αυτο, η θεωρια του χαους ειναι η μελετη της συμπεριφορας συστηματων που παρουσιαζουν ΑΠΡΟΒΛΕΠΤΗ συμπεριφορα αλλα ειναι ντετερμινιστικα. Και η μελετη αυτη βασιζεται στην μακροσκοπικη επαναληψημοτιτα (αλλα οχι πανομοιοτητα) του συστηματος.
Κοιτα τα παραδειγματα που εχω φερει παραπανω και ισως βγαλεις μια βασικη ακρη, το συστημα πεφτει σε "μοτιβα" τα οποια δεν επαναλαμβανονται ΕΠ ΑΚΡΙΒΩΣ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ελεος
και οχι δεν εινια ΜΟΝΟ η εξαρτηση στις αρχικες συνθηκες χαρακτιριστικο ενος χαοτικου συστηματος ειναι και αλλα πραγματα (που δεν αναφερω στο κειμενο μου γιατι ειναι πιο τεχνικα, οπως η τοπικη πυκνοτητα γυρω απο τα σημεια ελκυστες κτλ)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν παρατηρησετε πιο πανω, στο μη γραμμικο δυναμικο συστημα που αναφερω οι τροχιες πεφτουν σε ορισμενα "μοτιβα", δηλαδη συγκεντρωνονται ολες γυρω απο ενα η δυο σημεια (αυτο εξαρτατε απο τις ριζες του συστηματος, δηλαδη αναλογα την τιμη του c το συστημα εχει μια λυση (εκει που η ευθεια εφαπτεται της παραβολης) η δυο (εκει που η ευθεια τεμνει την παραβολη).
Αν αποριψουμε ολες τι τετριμενες τιμες του c και αποριψουμε και ολες τις αρχικες τιμες για καθε επαναληψη ωστε να εχουμε μονο τα σημεια γυρω απο τα οποια ελκεται η τροχια μπορουμε να κανουμ ενα καινουριο διαγραμα που περιγραφει την κατασταση του συστηματος αναλογα με την τιμη του c αυτο λεγεται bifurcation diagram και δειχνει πρακτικα ποτε το συστημα ισοροπει σε μια η δυο τιμες και ΠΟΥ ειναι αυτες οι τιμες.
μοιαζει καπως ετσι:
στον οριζοντιο αξωνα θα βρισκονταν οι τιμες του c και στον καθετο τα σημεια στα οποια οι τροχια του συστηματος σταθεροποιηται
τα σημεια στα οποια οι γραμμες χωριζονται ειναι τα σημεια στα οποια οι τροχιες καταληγουν σε δυο σημεια.
στην αρχη οι τροχιες ειναι σταθερες αλλα οσο αλαζει η τιμη του c διχοτομουνται ξανα και ξανα με τροπο τελειως χαοτικο και απροβλεπτο. Παροτι δεν παρουσιαζεται καποιο μοτιβο συνολικα υπαρχουν τοπικα σημεια επαναληψης και σταθεροτητας (που φαινονται σαν κενα).
αν κανουμε αυτη τη διαδικασια σε συστηματα με περισοτερους βαθμους ελευθεριας προκυπτουν τα καταπληκτικα fractals. Μαθηματικες δομες με κλασματικη διασταση που εχουν self similarity στη δομη τους αλλα ΚΑΜΙΑ περιοδικοτητα.
πχ το manderblot set
αυτο ειναι η αποικονιση ολων των τροχιων της μιγαδικης συναρτησης z(n+1) = z(n)^2 + c που ειναι φραγμενες (δηλαδη δεν καταληγουν στο απειρο - ειναι η η ιδια διαδικασια που μας εδεινε τα περιεργα αποτελεσματα στο πρωτο ποστ που εκανα απλα στους μιγαδικους).
τα χρωματα βγαινουν απο την αποσταση που εχουν τα σημεια απο τα σημεια που ειναι ΜΕΣΑ στο συνολο των φραγμενων τροχιων (αυτες ειναι μαυρες)
Το παραδοξο ειναι οτι αυτα τα πραγματα ΕΧΟΥΝ πρακτικες εφαρμωγες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γραμμικη εξισωση:
Γραμμικη λεγεται η εξισωση που εχει ως γραφικη παρασταση μια ευθεια:
f(x) = ax + b
Μη γραμμικη εξισωση:
Μη γραμμικη λεγεται η εξισωση που ο αγνωστος ειναι υψομενος σε καποια δυναμη διαφορετικη του 1. Εχει γραφικη παραστη μια καμπυλη που αλαζει αναλογα το ειδος της εξισωσης.
πχ
f(x) = ax^2 + bx + c
Συστηματα:
Ενα συστημα ειναι ενα σετ εξισωσεων που περιγραφουν μια κατασταση. Στην φυσικη πρακτικα ολα τα φαινομενα που περιγραφουμε ειναι συστηματα εξισωσεων, δηλαδη υπαρχει μια εξισωση για την ενεργεια, μια για την ταχυτητα, μια για τη θεση και οι κοινες λυσεις των εξισωσεων αυτων μας περιγραφουν σε μια δεδομενη χρονικη στιγμη την κατασταση του φαινομενου.
Γραμμικο ειναι ενα συστημα που αποτεληται μονο απο γραμμικες εξισωσεις. Οι λυσεις του συστηματος *οπτικα* ειναι οι τομες των ευθειων.
Μη γραμμικο ειναι το συστημα που περιεχει τουλαχιστον μια μη γραμμικη εξισωση μεσα. Τα περισοτερα φυσικα φαινομενα περιγραφονται απο μη γραμμικα συστηματα.
Δυναμικο λεγεται το συστημα το οποιο εξαρταται απο το αποτελεσμα του για να περιγραψει τη μελοντικη κατασταση του φαινομενου.
Παραδειγμα ενος μη δυναμικου γραμικου συστηματος θα ηταν το εξις:
f(x) = 2x + 1 αναλογα την τιμη που παιρνει το χ (η τιμη ειναι ανεξαρτητη του φαινομενου θα μπορουσε πχ να ειναι ο χρονος η η μαζα) παιρνουμε και μια λυση.
Ενα γραμμικο δυναμικο συστημα θα εμοιαζε καπως ετσι:
f(x) = 2x + 1 και χ = f(x) δηλαδη στο τελος τροφοδοτουμε στο συστημα τη λυση του. Αν πχ ξεκινησουμε με χ = 1 f(1) = 2*1 + 1 = 2 και χ = 2 οποτε η επομενη κατασταση του συστηματος θα ειναι η f(2) = 2*2 + 1 = 5 κτλ.
Το λεμε δυναμικο γιατι ειναι αυτομεταβαλομενο ας πουμε, το αποτελεσμα του επιρεαζει την μελοντικη του κατασταση.
Η θεωρια του χαους αφορα την μελετη μη γραμμικων δυναμικων συστηματων.
Ενα πολυ απλο παραδειγμα:
Ας παρουμε για παραδειγμα το πιο απλο μη γραμμικο δυναμικο συστημα που μπορουμενα φανταστουμε:
f(x) = x^2 + c και x = f(x) με cεR
η πρωτη τιμη του χ θα προσδιορισει τι θα γινει το συστημα μετα απο n επαναληψεις.
αν θεωρησουμε οτι c = 0 τοτε εχουμε τις εξις πιθανες καταληξεις του συστηματος.
(αν παρουμε την γραφικη παρασταση των τιμων που θα παιρνει το συστημα λεμε οτι εχουμε την "τροχια" του)
Αν το χ > 1 το συστημα παει στο απειρο γιατι:
f(2)=4
f(4)=8
f(8)=64
...
Αν το χ = 1 το συστημα μενει στο 1
f(1)=1
f(1)=1
...
Aν το χ < 1 το συστημα παει στο μηδεν
f(1/2) = 1/4
f(1/4) = 1/8
f(1/8) = 1/64
...
To μηδεν και το απειρο τα λεμε σημεια ελξης της τροχιας του συστηματος (τροχια λεμε τη γραφικη παρασταση των τιμων που παιρνει το συστημα) και το 1 το λεμε σημειο απωθησης. Σε αυτες τις σχετικα απλες περιπτωσεις μπορουμε ευκολα να δουμε οτι το συστημα "καταληγει" καπου, παροτι παιρνει απειρες τιμες σε ολο το χωρο, το μεγαλυτερο μερος αυτων των τιμων "συσορευεται" κοντα στο απειρο η το μηδεν.
Αν βαλουμε το c στο παιχνιδι ως διαφορο του μηδενος και ξεκιναμε με αρχικη τιμη του χ το μηδεν για λογους ευκολιας η συμπεριφορα του συστηματος αλαζει δραματικα.
Για παραδειγμα με το c = 1/4 η τροχια του συστηματος ειναι ετσι:
(το διαγραμμα το κατασκευαζουμε αν τοποθετησουμε τις γραφικες παραστασεις των δυο εξισωσεων που απαρτιζουν το συστημα στη συγκεκριμενη περιπτωση την f(x) = x^2 + 1/4 και την χ = f(x). Ξεκινοντας απο την αρχικη τιμη του χ - οι τιμες του χ βρισκονται στην ευθεια και η πρωτη τιμη ειναι το μηδεν - τραβαμε μια γραμμη που αντιστοιχιζει την τιμη του χ στην τιμη της f(x) που ειναι πανω στην παραβολη πχ χ = 0 αρα f(x) = 1/4, απο εκεινο το σημειο τραβαμε γραμμη στην ΕΠΟΜΕΝΗ τιμη του χ - που θα ειναι το 1/4 - και ξανα στην f(x) - που τωρα θα ειναι το 1/16 + 1/4 κτλ)
Για την τιμη του c = -1/3 το διαγραμμα γινεται ετσι:
Για την τιμη -1.8 γινεται ετσι:
Το συστημα παρουσιαζει την λεγομενη εξαρτηση απο τις αρχικες συνθηκες. Αυτο γιατι πολυ μικρες αποκλισεις στην αρχικη τιμη του c αλαζουν αρδην την τροχια του συστηματος.
Για την τιμη του c = 1 το συστημα γινεται:
επαναληψη 1 : 2
επαναληψη 2 : 5
επαναληψη 3 : 26
επαναληψη 4 : 677
Για την τιμη του c = 1.1
επαναληψη 1 : 2.31
επαναληψη 2 : 6.4361
επαναληψη 3 : 42.52338321
επαναληψη 4: 1809.338119...
Στις τεσερεις επαναληψεις για αποκλιση μολις 0.1 οι τιμες του συστηματος ειναι ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες.
Αυτο σημαινει οτι δεν μπορουμε να κανουμε καμια προβλεψη για τι θα κανει το συστημα με αρχικη τιμη 1.00001 βασιζομενοι στην τιμη 1...
Αυτο ειναι πολυ χονδρικα (αλλα ΠΟΛΥ χονδρικα) το χαος.
Ξεκιναμε με ενα απολυτα ντετερμινιστικο και απλο συστημα για να καταληξουμε σε μια τελειως απροβλεπτη συμπεριφορα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.