Τα θεματα των μεγαλων:
https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=1295
Τα θεματα των μικρων:
https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=1296
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ακριβώς. εδώ οι n,m,χ,y,z είναι ακέραιοι λογικά. Αφού όμως έχεις ασχοληθεί με διοφαντικές προσπάθησε να λύσεις αυτή... 2χ^3=1+y^2
εχω ασχοληθει αλλα μονο με γραμμικες (χωρις τετραγωνα, κυβους κλπ), αλλα θα κανω μια προσπαθεια χωρις να ειμαι σιγουρος, διορθωσε με αν κανω καμια βλακεια
2χ^3=1+y^2 <=>
2χ^3 - y^2 = 1
θετουμε α= χ^3, β= -y^2
οποτε η εξισωση γινεται
2*α + 1*β = 1
τωρα η (α,β)=(1,-1) ειναι μια προφανης ριζα
και επηδη (1,2) = 1 ολες οι ριζες δινονται απο τους τυπους
α = 1 + t , β = -1 - 2t , οπου t: ακεραιος
εχουμε λοιπον: χ^3 = 1 + t <=> x = Κ_Ρ[t + 1] , οπου Κ_Ρ: κυβικη ριζα
και -y^2 = -1 -2t <=> y^2 = 1 + 2t <=> y = +-T_P[2t + 1]
οπου t: θετικος ακεραιος (για να οριζονται και οι ριζες)
επηδη ομως θελουμε οι χ,y να ειναι ακεραιοι, οι ριζες ειναι ολα τα ζευγη αριθμων της μορφης (χ,y) = (Κ_Ρ[t + 1], +-T_P[2t + 1]), οπου t θετικος ακεραιος για τον οποιο ο αριθμος t + 1 ειναι τελειος κυβος ακεραιου ενω ο αριθμος 2t + 1 ειναι τελειο τετραγωνο ακεραιου.
Εκανα μια προσπαθεια, τωρα μπορει να μην υπαρχουν απειροι αριθμοι t ωστε να ισχυουν τα παραπανω οποτε θα εχουμε πεπερασμενο πληθως λυσεων, αλλα αυτα δεν τα εχω μελετησει τοσο καλα ακομα.
EDITED: Τελικα ναι εχει πεπερασμενο πληθος λυσεων ((1,1), (1,-1)).
Ειμουν σχεδον σιγουρος οτι αυτην την ειχα ξαναδει στο mathlinks, μπηκα λοιπον ξανα τωρα πριν λιγο και την ξαναειδα μαζι με τη λυση της, τελικα απαιτει χρηση δυσκολων εξωσχολικων γνωσεων που δεν εχω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Παραθέτω εδώ μια πρόχειρη λύση γιατί δεν έχω και πολύ χρόνο για αυτά....
Η εξίσωση παίρνει τη μορφή Αχ +Βy +Cz=0 όπου Α=-5+2*5^n και Β=-10+3*5^n και C=-1+5^n.
Προφανώς (x,y,z)=(-B,A,0) και (C,0,-A) είναι 2 λύσεις της εξίσωσης. Ενώ όλες οι λύσεις δ΄θνονται απο (x,y,z)=n(-B,A,0)+m(C,0,-A), όταν βέβαια n,m είναι ακέραιοι. Άρα έχουμε άπειρες λύσεις..QED.
PS: Στο ξανατόνισα! Μη δουλεύεις με χαζά ''σχολικά'' θεωρήματα. Αυτή ήταν μια απλή διοφαντική εξίσωση όπου φυσικά ο κ. ....... (άλλα μας είχε πει το καλοκαίρι στα μαθήματα προετοιμασίας, τέλοςπάντων) την αντέγραψε απο το βιβλίο του Barbeau (Polynomials).
Για να ειναι η εξισωση διοφαντικη δεν πρεπει να ζητειται επιλυση της στους ακεραιους; η κανω λαθος; Γιατι με διοφαντικες εξισωσεις εχω ψιλοασχοληθει (εχει αρκετες μεσα ενα βιβλιο θεωριας αριθμων της ΕΜΕ που εχω)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Η Ασκηση ειναι αυτη: https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=642&lang=greek
Αν μπορει καποιος που να εχει ασχοληθει περισσοτερο με εξωσχολικες δυσκολες ασκησεις ας ριξει μια ματια στην παραπανω ασκηση γιατι με εχει φαει η περιεργεια
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Rolle στην h(x)=f(x)e^{ολοκλήρωμα απο α έως χ του f(t)dt} στο διάστημα [α,β] και τελειώσαμε
μαλλον θες να πεις rolle στην h(x)=f(x)e^{ολοκλήρωμα απο α έως χ του f(t)dt}*k
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Οκ, εφόσον δεν ασχολείσαι με ολυμπιάδες ξεσκόνισα λίγο το αρχείο μου και βρήκα μια άσκηση την οποία κατασκεύασα εγώ ο ίδιος μιας και μου το είχε ζητήσει ο θείος μου γαι να τη βάλει στα παιδια στο σχολειο σαν τεστακι 4ο θεμα...
Problem:
Αν η συνάρτησηείναι συνεχής στοπαραγωγίσιμη στομενα δείξετε ότι υπάρχειπου ανήκει στοτέτοιο ώστεγια κάθε πραγματικό αριθμό
Λοιπον:
1η περιπτωση: f σταθερη στο [α,β], τοτε f(χ) = 0 για καθε χ στο [α,β] και f'(x) = 0 για καθε χ στο [α,β], οποτε θα ισχυει f'(x) = 0 = k*0 = k*f(x) για καθε χ στο [α,β] και για καθε πραγματικο αριθμο κ
2η περιπτωση: f μη σταθερη στο [α,β]. Εστω ξ η μικροτερη ριζα της f στο (α,β] (αν η f δεν εχει ριζα στο (α,β) τοτε ξ=β), στο (α,ξ) οριζουμε τη συναρτηση h(x) = -κχ - 1/f(x), οπου κ ενας οποιοςδηποτε πραγματικος αριθμος. Εχουμε lim(x->a+)(h(x))= +oo η -oo και lim(x->ξ-)(h(x)) = +oo η -oo. Επηδη f(x) >< 0 στο (α,ξ) η f διατηρει προσημο στο (α,ξ), αρα τα παραπανω ορια θα ειναι και τα δυο ειτε +oo ειτε -oo, οποτε καθος το χ που μεταβαλλεται στο (α,ξ) προσεγγιζει ειτε το α ειτε το ξ η h αυξανεται η μειωνεται απεριοριστα, ετσι ευκολα προκειπτει (εδω θελει αρκετα λογια, μη τα γραφω ολα) οτι η h δεν ειναι γνησιως μονοτονη στο (α,ξ) αρα ουτε 1 - 1, οποτε υπαρχουν χ1,χ2 στο (α,ξ) με h(x1) = h(x2). Τωρα εχουμε: h συνεχης και παραγωγισημη στο [χ1,χ2] ως αθροισμα πολυωνυμικης με συνθεση ρητης με την f, h(x1) = h(x2), αρα απο Θ Rolle διαφορικου λογισμου προκειπτει οτι υπαρχει λ στο (χ1,χ2) με h'(λ) = 0 <=> -κ + f'(λ)/f(λ)^2 = 0 <=> f'(λ)/f(λ)^2 = κ <=> f'(λ) = κf(λ)^2
Παρατηρηση: τα ορια βγαινουν μη πεπερασμενα επηδη η f ειναι συνεχεις στο [α,ξ] οποτε ισχυει lim(x->α+)f(x) = f(α) = 0 = f(ξ) = lim(x->ξ-)f(x)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Φετος λεω μετα τις πανελληνιες να αγορασω τιποτα βιβλια για ολυμπιαδες ωστε να μαθω τα παντα γι αυτες και να προετημαστω για τη seemous του χρονου, πρωτα ομως πρεπει να γραψω πανελληνιες, εχω 30 μερες να καλυψω 30 σελιδες κενα στο ΑΟΔΕ αλλα σκυλοβαριεμαι, δεν τη μπορω τη παπαγαλια
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Α καλά, τι περιμένεις και εσύ τώρα...Αυτές οι ασκήσεις είναι χάσιμο χρόνου. Δεν χρειάζεται να δίνεις καθόλου σημασία. Απο την άλλη, μπορείς να ασχοληθείς με αυτή που θα δημοσιεύσω εγώ τώρα, έτσι για να ακονίσεις λίγο το μυαλουδάκι σου...
Problem:
Δίνεται τρίγωνοκαι τα σημείατων πλευρών, ώστε. Οιτέμνονται στο. Η παράλληλη από τοπρος τη διχοτόμοτου τριγώνουτέμνει τηνστο. Να αποδειχθεί ότι
Αν και ειμουν καλος στη Γεωμετρια μεχρι την Α Λυκειου, στη Β δεν ανοιξα καθολου βιβλιο με αποτελεσμα τωρα να εχω παρα πολλα κενα, βρηκα κατι αναλογιες με το θεωρημα διχοτομων και με την ομοιωτητα των τριγωνων που σχηματιζονται απο τις δυο παραλληλες αλλα δεν βγαζω ακρη. Ισως να παιζει κατι με το τετραπλευρο που σχηματιζεται ενωνοντας τα σημεια Κ,Λ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
πηγα να το βγαλω με χρηση συνολων (τομες, ενωσεις κλπ) πανω στα οποια εχω ελαχιστες γνωσεις (αυτες απο τα μαθηματικα γενικης της Γ λυκειου στο κεφαλαιο των πιθανοτητων)
Α και κατι αλλο.. μηπως γνωριζει κανεις τι παιζει με την ΕΜΕ; Υποτιθεται οτι καθε μηνα με καθηστερηση το πολυ 20 ημερων δημοσιευουν μια ασκηση προκληση για μαθητες, αλλα εχουμε 4 Απριλιου και εχουν ακομα την ασκηση του Ιανουαριου που η προθεσμια αποστολης της λυσης της ηταν μεχρι 20 Φεβρουαριου...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Mε επαγωγή ειναι αρκετά εύκολο...
ναι το φανταστηκα οτι μπορει να βγαινει με επαγωγη αλλα δεν το δοκιμασα επιδη βιαζομουν (ειχα φροντιστηριο), παντως ετσι οπως την σκευτικα θεωρησα οτι βγαινει αμεσος με εφαρμογη της ανισωτητας cauchy-swartz
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Άρτς βάλε κάτι που να μην χρειάζεται πράξεις μόνο αν θες να τους ξυπνήσεις.
οκ, μολις μου ηρθε μια αλλη ενω κοιτουσα κατι μαθηματικα στο wikipedia
Να αποδειξετε οτι για καθε θετικο ακεραιο ν, ισχυει:
1/1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(ν^2) >= (ν^2)/(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + ν^2)
Ποτε υσχιει η ισοτητα;
Δεν την σκευτικα αρκετα οποτε μπορει να βγαινει και με καποιο τροπο πολυ ευκολοτερο απο αυτον που ξερω.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
https://www.e-steki.gr/showthread.php?t=550&page=6
μη την ξαναγραφω εδω...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.