Άλλα μηνύματα του μέλους Gabriel97 σε αυτό το thread

Gabriel97 · 03-01-14

Αρχική Δημοσίευση από styt_geia:
1.
α) Αν $M(x,y)$ το μέσο της ΒΓ τότε λόγω της γνωστής ιδιότητας του βαρυκέντρου, ισχύει $\overrightarrow{A\Theta}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \left(1-(-1),4-2\right)=\frac{2}{3} \left(x-(-1),y-2\right)$
και εξισώνοντας τις συντεταγμένες, βρίσκεις τα $x,y$
β) Η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στο ύψος ΑΗ οπότε ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ. Επιπλέον ξέρεις και ένα σημείο της ΒΓ, το Μ από το προηγούμενο ερώτημα. Με βάση αυτά μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΒΓ.

2.
Κατ' αρχάς οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν καμία από τις εξισώσεις των υψών. Άρα οι εξισώσεις αυτές είναι των υψών που διέρχονται από τα σημεία Β και Γ. Έστω Ε το σημείο που το ύψος από το Γ τέμνει την ΑΒ και Δ το σημείο που το ύψος από το Β τέμνει την ΑΓ. Ας θεωρήσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η εξίσωση της ΓΕ ειναι η $3x+y-11=0$ και ότι η εξίσωση της ΒΔ είναι η $x-y+3=0$ .
α) Από την λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο υψών βρίσκεις τις συντεταγμένες του Η.
β) Η ΑΒ είναι κάθετη στην ΓΕ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΒ. Αντίστοιχα η ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΓ.
Από την λύση του συστήματος των ΑΒ και ΒΔ βρίσκεις το Β και από την λύση του συστήματος των ΑΓ και ΕΓ βρίσκεις το Γ.
γ) Έχεις ήδη βρει τις δύο πλευρές στο ερώτημα β) και μένει μόνο η εξίσωση της ΒΓ η οποία είναι εύκολη αφού ξέρεις τα Β και Γ.
δ) Άμεση εφαρμογή του τύπου $E=1/2 \left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right)\right|$

3.
α)
$4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow \left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA} \right)+ \left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)=3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\Gamma} \Rightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O\Gamma} \right)= 3\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow{\Gamma A}=3\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma}.$
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.
β) Επειδή τα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{ A \Gamma}$ είναι αντίρροπα, συμπεραίνουμε ότι το Α βρίσκεται μεταξύ των Β και Γ.
γ) Είναι $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma}$ οπότε $x \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A\Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{A\Gamma} = 2x \overrightarrow{AB} \,\,(1)$ ,
όμως από το ερώτημα α) βρήκαμε $\overrightarrow{AB} =-\frac{2}{3} \overrightarrow{ A \Gamma} \Rightarrow \overrightarrow{ A \Gamma}= -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \,\,(2)$ . Από (1) και (2) είναι
$2x \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{AB} \Rightarrow \left(2x+\frac{3}{2}\right)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
Και υποθέτωντας ότι τα Α και Β δεν συμπίπτουν, από την παραπάνω σχέση είναι $2x+\frac{3}{2}=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{4}$

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ !!

Gabriel97 · 03-01-14

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( -1,2) , ορθόκεντρο Η(3,0) και βαρύκεντρο θ(1,4). Να βρείτε :

α. Το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ
β. Την εξίσωση της πλευράς ΒΓ
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 2,1 ) και 3χ+Ψ-11=0 , χ-ψ+3=0 είναι οι εξισώσεις δύο υψών του.

α. Να βρεθεί το ορθόκεντρο Η
β. Να βρεθουν οι κοριφές Β,Γ
γ.Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του .
δ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου.
3. Για διακεκριμένα σημεία Α,Β,Γ ισχύει 4ΟΑ+ΓΑ=3ΟΒ+ΟΓ ( ΟΑ,ΓΑ,ΟΒ,ΟΔ διανύσματα )

α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ ανήκουν στην ίδια ευθεία
Β. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ πάνω στην ε
γ. Αν Μ μέσο του ΑΓ να βρείτε την τιμή του Χ, ώστε να ισχύει ΑΜ ( διάνυσμα ) = χ * ΑΒ ( διάνυσμα ) και το Μ να είναι μέσο του ΑΓ
4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2) , Β(7,0) ΚΑΙ Γ (1,4) . Αν Δ το μέσο διαμέσου ΑΜ και για το σημείο Ε ισχύει 2ΑΕ( διάνυσμα ) = ΕΓ (διάνυσμα )

α. Να βρείτε τα σημεία Δ, Ε
Β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά

παρακαώ αν μπορείτε να έχετε απαντήσει μέχρι και τις 05/01/2014
Τα έχω μπερδέψει τελείως

Άλλα μηνύματα του μέλους Gabriel97 σε αυτό το thread

Gabriel97

Νεοφερμένος

Gabriel97

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες