03-01-14
11:01
1. Αν τα σημεία Α , Β ,Γ έχουν διανύσματα θέσεως ως προς σημείο αναφοράς το Ο , τα ( διανύσματα α,β,γ ) α=(-1,3) , β(=(3,5) , γ=(-3,2) αντίστοιχα , τότε
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ
β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακα
γ. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,0) , Β (2,-3) και Γ(0,1)
Να βρείτε το διάνυσμα ν για το οποίο ισχύει:
2ν=ΑΒ-|ν|*ΑΓ (ν,ΑΒ,ΑΓ διανύσματα )
3. Δίνεται πετιτή , γνησίως μονότονη συνάρτηση φ, με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R , όπου η γραφική της παράσταση διέρχεται απο το Α(1,4) και Β(2,3)
α. Να αποδείξεται ότι η φ, είναι γνησίως φθίνουσα
β. Να λυθεί η ανίσωση φ(χ-3)<4γ
γ. Να αποδείξετε ότι
φ(-χ^2 - 1) + φ(χ^2+1)= 0 για κάθε χ e R
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ
β. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακα
γ. Να βρείτε τη σχετική θέση των Α,Β,Γ
2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,0) , Β (2,-3) και Γ(0,1)
Να βρείτε το διάνυσμα ν για το οποίο ισχύει:
2ν=ΑΒ-|ν|*ΑΓ (ν,ΑΒ,ΑΓ διανύσματα )
3. Δίνεται πετιτή , γνησίως μονότονη συνάρτηση φ, με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R , όπου η γραφική της παράσταση διέρχεται απο το Α(1,4) και Β(2,3)
α. Να αποδείξεται ότι η φ, είναι γνησίως φθίνουσα
β. Να λυθεί η ανίσωση φ(χ-3)<4γ
γ. Να αποδείξετε ότι
φ(-χ^2 - 1) + φ(χ^2+1)= 0 για κάθε χ e R
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
03-01-14
10:30
1.
α) Αν το μέσο της ΒΓ τότε λόγω της γνωστής ιδιότητας του βαρυκέντρου, ισχύει
και εξισώνοντας τις συντεταγμένες, βρίσκεις τα
β) Η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στο ύψος ΑΗ οπότε ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ. Επιπλέον ξέρεις και ένα σημείο της ΒΓ, το Μ από το προηγούμενο ερώτημα. Με βάση αυτά μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΒΓ.
2.
Κατ' αρχάς οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν καμία από τις εξισώσεις των υψών. Άρα οι εξισώσεις αυτές είναι των υψών που διέρχονται από τα σημεία Β και Γ. Έστω Ε το σημείο που το ύψος από το Γ τέμνει την ΑΒ και Δ το σημείο που το ύψος από το Β τέμνει την ΑΓ. Ας θεωρήσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι η εξίσωση της ΓΕ ειναι η και ότι η εξίσωση της ΒΔ είναι η .
α) Από την λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο υψών βρίσκεις τις συντεταγμένες του Η.
β) Η ΑΒ είναι κάθετη στην ΓΕ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΒ. Αντίστοιχα η ΑΓ είναι κάθετη στην ΒΔ άρα ξέρεις τον συντελεστή διεύθυνσής της. Επιπλέον ξέρεις τις συντεταγμένες του Α οπότε μπορείς να βρεις την εξίσωση της ΑΓ.
Από την λύση του συστήματος των ΑΒ και ΒΔ βρίσκεις το Β και από την λύση του συστήματος των ΑΓ και ΕΓ βρίσκεις το Γ.
γ) Έχεις ήδη βρει τις δύο πλευρές στο ερώτημα β) και μένει μόνο η εξίσωση της ΒΓ η οποία είναι εύκολη αφού ξέρεις τα Β και Γ.
δ) Άμεση εφαρμογή του τύπου
3.
α)
Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.
β) Επειδή τα και είναι αντίρροπα, συμπεραίνουμε ότι το Α βρίσκεται μεταξύ των Β και Γ.
γ) Είναι και οπότε ,
όμως από το ερώτημα α) βρήκαμε . Από (1) και (2) είναι
Και υποθέτωντας ότι τα Α και Β δεν συμπίπτουν, από την παραπάνω σχέση είναι
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ !!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 10 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.