Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 9 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
2) Δεν ειναι τυχαιο το Π.Ο...διαιρεσε με το (συνχ)^2 . Δες αυτο που βγηκε και σκεψου !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημειωση: Αν θελεις και βοηθαει, τοτε κανε ιδιοτητες λογαριθμων και γραφεις την παραπανω αρχικη πιο σνοπτικα !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Οταν τεινει στο +οο ,κανε το εξης.Βγαλε κοινο παραγοντα το χ στο τετραγωνο .Επειτα υπολογισε το "προβληματικο" κλασμα με τη βοηθεια του θεωρηματος L' Hopital.
Στο αλλο ερωτημα μονοτονια και δες τι συμβαινει για χ>0 (το μεγιστο ειναι το μηδεν) .Πρεπει να φυγω !
styt_geia το διωρθωσα.Αν θες μου δινεις οποιαδηποτε βοηθεια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Να υπολογισετε το παρατηρωντας οτι
Αν θελει καποιος ας κανει μια προσπαθεια .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Τα μοναδικα δεδομενα που εχουμε για αυτο το ερωτημα ειναι F(a)=F(β)=0 , F''(x)>0 για καθε χ ε [α,β] (ολα τα αλλα ειναι για τα αλλα ερωτηματα)
1)Θ.Rolle στο [α,β] για την F και αποδεικνυεις οτι υπαρχει τουλ. ενα κ ε (α,β) τ.ω F'(κ)=0 και επειδη F' αυξουσα στο [α,β] ,τοτε το κ ειναι μοναδικη ριζα της F'(x)=0 στο [α,β] .
Για α <= χ <= κ <=> F'(α) <= F'(χ) <=F'( κ) <=> F'(x)<=0 για καθε χ ε [α,κ] ,οποτε F ειναι γν. φθινουσα στο [α,κ]
Επισης για α <= χ <= κ <=> F(a) >= F(x) >= F(k) <=> 0 >=F(x) αρα F(x) <= 0 για καθε [α,κ]. (1)
Για κ <= χ <= β <=> F'(κ) <= F'(χ) <=F'( β) <=> F'(x)>=0 για καθε χ ε [κ,β] ,οποτε F ειναι γν. αυξουσα στο [κ,β]
Επισης για κ<= χ <= β <=> F(κ) <= F(x) <= F(β) <=> F(x) <= 0 αρα F(x) <= 0 για καθε [κ,β]. (2)
Απο (1) και (2) προκυπτει οτι F(x) <= 0 για καθε χ ε [α,β] . Ομως οι μοναδικες ριζες της F(x)=0 στο [α,β] ειναι τα χ=α και χ=β , οποτε F(x) <0 για καθε χ ε (α,β) .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ή μπορεις να κανεις θ.Rolle στην F στο[α,β] και να δειξεις οτι υπαρχει τουλ. ενα χο και με τη μονοτονια της F'(x) οτι ειναι μοναδικη .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Στο τριτο αν και δεν καταλαβα τι θες να δειξεις, θεσε y=1/x και θα βγει το f'(0) με βαση τον ορισμο της παραγωγου αφου f(0)=0 .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
N.δ.ό η f ΕΧΕΙ 0 Ή ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ.
Αρκει να δειξω οτι η διακρινουσα της δευτερης παραγωγου δεν μπορει να ειναι μηδεν;Μπορει να ειναι Δ>0 ή Δ<0 ;
Ευχαριστω για καθε απαντηση. . .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χαρουλιτα, απλα ηθελα να βρω τα σημεια τομης τη συναρτησης με τον αξονα χ´χ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
κΑΝΩ HORNER με +-1,+-2,+-4,+-5,+-10,+-20 αλλα τιοτα .Καποια βοηθεια ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν μπορει ας βοηθησει καποιος .Ευχαριστω
Διορθωση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
0<|x-xo|<δ => |f(x)-L| < ε και ζητα να βρω το δ, οπου δ>0
Κατεληξα σε δυο σχεσεις -0.19<x<0.21 και -δ<x<δ
το δ ποιο ειναι ;
Ευχαριστω για καθε βοηθεια.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Aμα παρω ξεχωριστα το οριο της cotθ και κανω de L' Hopital τοτε θα βγει 0 και το τελικο οριο ισο με 2 . Σιγουρα δεν βγαινει με καποια τργωνομετρικη ταυτοτητα ;
Δεν υπάρχει το όριο.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Το οριο lim(cotθ) για θ->0+ ειναι +οο , ενω για θ->0- ειναι -οο . Αν η απαντηση στο παραπανω οριο ειναι οτι ο παραπανω οριο δεν υπαρχει τοτε δεκτη . Κατι που ομως δεν νομιζω διοτι αν εφαρμωσω κανονα de L' Hopital (προφανως δεν επιτρεπεται να χρησιμοποιησω) τοτε ολο το οριο βγαινει 2 (αν δεν κανω λαθος)Εφόσον το όριο cotθ όταν θ->0 είναι όριο του συνημιτόνου θ, δηλαδή 1, προς το ημίτονο θ, δηλαδή 0, το lim(cotθ) όταν θ->0 είναι + ∞ .
Έτσι lim(2-cotθ) όταν θ->0 κάνει - ∞ .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ποσο κανει το οριο lim (2-cotθ) οταν θ->0 ;
Ευχαριστω για καθε απαντηση .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
μετα παιρνεις πλευρικα ορια και αν ειναι ισα τοτε το οριο στο χ=1 υπαρχει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εστω ενα μη μηδενικο πολυώνυμο ν βαθμου τοτε θα εχει ν μιγαδικες ριζες. Μπορει για παραδειγμα οι ν-2 να ειναι πραγματικες και οι αλλες δυο να ειναι της μορφης α+βi .
Δηλαδη το συνολο των ριζων που ειναι πραγματικες και το συνολο των ριζων της μορφης α+βi ειναι ν .
Αυτο ισχυει ή τιποτα αλλο;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
min|z|= ρ-1=6-1=5
max|z|=ρ+1=6+1=7
β) Λυσε την δευτερη σχεση ως προς w και θα βγει w=6(z-1)/3z+1= 2(z-1)/(z+1/3) [δεν υπαρχει προβλημα με τον παρανομαστη αφου z διαφορο του -1/3 (σου λεει οτι |z+1/3|=12) ]
αρα |w|= 2|(z-1)/(z+1/3)|=...=2*6/12=1 , οποτε |w|=1
Το τριτο θα το δω αργοτερα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
4) καταρχην στο τρυονυμο βαζεις F ενω στο ζητουμενο f .
Για να ισχυει η σχεση που θελεις πρεπει α>0 και Δ<=0 (οπου α ο συντελεστης του χ^2 και Δ η διακρινουσα του τριωνυμου)
α=1 αρα αρκει ν.δ.ο Δ<=0
Βρισκοντας σωστα την διακρινουσα κατεληξα στο Δ= -4(z1*(συζηγης)z2 + 1)*(1+z2*(συζηγης)z1)
Σου δινει κατι αλλο απο προηγουμενα ερωτηματα ; Το οτιδηποτε ή ειναι ετσι η ασκηση;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γι αυτο πρεπει να ελεγχω την ασκηση μετα την ολκληρωση της
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
2) Βρηκα χ^2 +Y^2 =1/2 αρα η ακτινα ειναι ρ=(ριζα2)/2 .Κανω λαθος;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Απορία: ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού z αν ισχύει πως Re(z-1/z)=-3Im(iz);
Εμένα μου βγαίνει ο y'y και ο κύκλος με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ένα δεύτερο.
Εμενα μου βγηκε κυκλος με κεντρο το Κ(0,0) και ακτινα ρ=(ριζα 2) / 2
ΕΞΑΙΡΕΙΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Κ(0,0) αφου δεν πρεπει χ=0 ΚΑΙ y=0 (ταυτοχρονα και τα δυο μηδεν)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σωστοτατο, αλλα νομιζω πως δεν διευκρινιζεις ποιο ειναι το Af (σε κανενα σημειο της ασκησης)Για καθε ισχυει
Νομιζω πως η σωστη προταση ειναι "Δηλαδη η f ειναι γν αυξουσα στο Π.Ο της " ή "Δηλαδη η f ειναι γν αυξουσα στο Af"Δηλδη η f ειναι γν αυξουσα οποτε εχει η μια (ή καμια ριζα) αφου τεμνει τον αξονα x'x μονο μια φορα(ή και καμια).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ειναι ενα παραδειγμα για την επιλυση της παραπανω ισοτητας του Αντωνη;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ο λογάριθμος μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές.Μάλλον εννοείς για χ>1.
Ναι ρε, αχ αυτη η e^x (μπερδεψα την γραφικη παρασταση)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει |z+6-3i|<=8. Για κάθε z ανήκει στο Α ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση:
f(z)=|z-6+2i|. α)Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α. β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). γ)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z). Παίζει μια βοήθεια σε αυτό; Thnx
α)Απο θεωρια του βιβλιου ξερουμε οτι |z-zo|=ρ ,ρ>0 ειναι κυκλος με κεντρο Κ(zo) και ακτινα ρ.
Η εξισωση που σου δινει (η οποια ισχυει για το συνολο Α) ειναι |z+6-3i|<=8 => |z-(-6+3i)|<= 8
Η ισοτηητα δειχνει οτι οτι ο z κινουνται σε κυκλο με Κ(-6,3) και ακτινα ρ=8.
Το συμβολο συγκρισης < δειχνει οτι οι ο z κινηται και στον κυκλικο δισκο του κυκλου. Το < μας δειχνει οτι η εικονα του z μπορει και να εχει αποσταση μικροτερη απο 8 cm απο το κεντρο του κυκλου Κ.
Επομενως ο γ.τ του z ή το συνολο Α των εικονων του z ειναι ο κυκλικος δισκος και ο κυκλος (περιφερεια του κυκλου) με Κ(-6,3) και ρ=8 . Επι της ουσιας ειναι ενας ολοκληρος δισκος... Σχηματισε τον σωστα σε ενα καρτεσιανο επιπεδο.
β) Σου λεει οτι ισχυει f(z)=|z-6+2i| οπου αυτος ο z που ειναι ορισμα της συναρτησης f ανηκει στον παραπανω γ.τ. .
Ισχυει f(z)=|z-6+2i| => f(z)=|z-(6-2i)|
Απο θεωρια βιβλιου ξερω οτι η απολυτη τιμη της διαφορας δυο μιγαδικων αριθμων ειναι ιση με την αποσταση των εικονων τους.
Αυτο κρατα το. Ζητωντας σου να βρεις το το μεγιστο και το ελαχιστο του f(z) , στην ουσια σου ζητα να βρεις την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση του z απο τον μιγαδικο (6-2i) . Η εικονα του (6-2i) ειναι το Μ(6,-2) και ειναι σταθερη, σε αντιθεση με την εικονα του z που μπορει να κινειται μεσα σε ενα γ.τ (τον δισκο) και δεν ξερουμε που μπορει να ειναι (εκτος κι αν δωσουμε μια τιμη στον z). Γι αυτο το ερωτημα σου ζητα την μεγιστη και την ελαχιστη αποσταση που μπορουν να εχουν οι εικονες αυτων των δυο μιγαδικων...
Οταν σου ζητα μεγιστη και ελασιστη αποσταση μιας εικονας (Μ) απο ενα κυκλο τοτε θα τραβας ενα ευθυγραμμο τμημα απο υην εικονα προς τον κυκλο περνοντας οπωσδηποτε απο το κεντρο του κυκλου και τεμνοντας σε δυο σημεια την περιφερεια του κυκλου.Βλεποντας το σχημα θα δεις ποια ειναι η μεγιστη και ποια η ελαχιστη αποσταση του Μ απο μια εικονα του z.
minf(z)=min|z-(6-2i)|= (ΒΜ)=(ΚΜ)-ρ= - 8=...= 5 cm
maxf(z)=max|z-(6-2i)|=(ΑΜ)=(ΚΜ)+ρ= +8=...=21 cm
Πως λύνονται οι εξισώσεις της μορφής:
ln(x+a)= x+b, πχ η ln(x-1)=x-4 ;
Δεν ξερω καποιο τροπο που να λυνεται ως προς χ αυτο. Το μονο σιγουρο ειναι οτι ισχυει για χ>4
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
Έστω Α το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, για τα οποία ισχύει |z+6-3i|<=8. Για κάθε z ανήκει στο Α ορίζουμε τον αριθμό f(z) από τη σχέση:
f(z)=|z-6+2i|. α)Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α. β)Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του f(z). γ)Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του f(z). Παίζει μια βοήθεια σε αυτό; Thnx
α) Το συνολο Α των εικονων του z ειναι ο γ.τ του κυκλου και του κυκλικου δισκου με κεντρο Κ(-6,3) και ακτινα ρ= 8
β) minf(z)= 5 cm
γ)maxf(z)=21 cm (αν η μοναδα μετρησης ειναι σε εκατοστα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
iii)ΝΔΟ οτι η g δεν ειναι 1-1 για την οποια ισχυει
για καθε
Αν αυτη ειναι η g τοτε πως ελυσες ως προς f(x); αν ελυσες ως προς f(x) τοτε αυτο που εβγαλες θα ισχυει για χ ε IR-{-1,1} και οχι για ολο το IR
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Ναι το πρωτο κ το δευτερο βγαινουν σχετικα ευκολα το iii πως το δειξατε?
Απο τον ορισμο της συναρτησης 1-1 λεει οτι :
μια συναρτηση f :Α-> IR λεγεται συναρτηση 1-1 , οταν για οποιαδηποτε χ1,χ2 ε Α ισχυει η συνεπαγωγη:
αν χ1 διαφορο του χ2, τοτε f(x1) διαφορο του f(x2)
Αυτη ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)
Αυτη η συναρτηση δεν ειναι 1-1 στο π.ο της (IR)
Ποια η διαφορα τους; Για να ειναι μια συναρτηση 1-1 θα πρεπει να μην υπαρχουν 2-3-...-ν (ν ε Ν με ν>3) που να δινουν την ιδια τιμη y.
Στην πρωτη γραφικη παρασταση καθε χ του π.ο της δινει διαφορετικη τιμη y. Αντιθετα στην δευτερη βλεπεις οτι υπαρχουν δυο χ τα οποια δινουν την ιδια τιμη y (π.χ την τιμη -2 την παιρνεις για χ=-1 και για χ=1 , δηλαδη f(-1)=f(1)= -2) αρα δεν ειναι 1-1.
Στην ασκηση σου τωρα:
Απο το πρωτο ερωτημα εχεις βρει οτι f(1)=f(2)=2 .Αν στο τριτο ερωτημα βαλεις στην συναρτηση οπου χ το 1 και το 2 αντιστοιχα θα παρατηρησεις οτι g(1)=g(2) .Δηλαδη για δυο διαφορετικες τιμες του χ παιρνεις την ιδια τιμη χ,. Επομενως η συναρτη g(x) δεν ειναι συναρτηση 1-1 .....
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Θέτω στην σχέση που μου δίνει (σχέση (1)) x=1, κάνω πράξεις, και καταλήγω ότι f(f(1))=1.
Μετά πάλι στην (1) θέτω x=f(1), χρησιμοποιώ ότι f(f(1))=1 που βρήκα παραπάνω, κάνω τις πράξεις και καταλήγω ότι [f(1)-2]^2=0, άρα f(1)-2=0, δηλ f(1)=2.
Όμοια εργαζόμαστε για να βρούμε το f(2).
Ευχαριστω
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γεια σας παιδια...μπορει κανεις να με βοηθησει στα θεματα 11(σελ.354) και 4(σελ 352) του μπαρλα τευχος Α?(δεν μπορω να γραψω ριζες και τετραγωνα στον υπολογιστη) οποιος εχει το βιβλιο και γνωριζει ας με βοηθησει...Ευχαριστω!
Θεμα 4 απο Μπαρλα στη σελιδα 352 (αν εχουμε το ιδιο)
α) Σου ζητα να βρεις το γεωμετρικοο τοπο (τον ονομαζει Cα ) των σημειων Μ του επιπεδου που ειναι εικονες των ζ=χ+yι με χ,y ε IR, που εικανοποιουν τη σχεση με α ε IR
Το μονο που μπορεις να εκμεταλευτεις ειναι την σχεση που σου δινει και σου λεει οτι ισχυει για τους z .Γνωριζω απο θεωρια οτι αρα η ισοτητα γινεται:
=0 =>2x-α+2y=0 με α ε IR
Ογεωμετρικος τοπος στον οποιο κινουνται οι οικονες του z ειναι μια ωραιοτατη ευθεια με εξισωση 2x-α+2y=0 με α ε IR
β) Διαβαζοντας το ερωτημα παιρνουμε τα δεδομενα και το ζητουμενο του. Αρχικα λεει "Αν Α(-1/2, 3/2) ε Cα" αρα καταλαβαινουμε οτι οι συντεταγμενες του Α ικανοποιουν την εξισωση της ευθειας (Cα) .
Για χ=-1/2 και y=3/2 εχω 2*(-1/2)-α+2*3/2=0=>...=>α=2
Οποτε η εξισωση του Cα ειναι 2χ-2+2y=0 => y=-x+1 δηλαδη Ca : y=-x+1, με χ ε ΙR (δεν δινει καποιο περιορισμο για το x)
Μετα λεει "Να προσδιορισετε σημειο Β ε Cα" αυτο ειναι το ζητουμενο, και συμπληρωνει λεγοντας οτι η μεσοκαθετος του ΑΒ θα περνα απο το κεντρο του κυκλου με εξισωση |z+1-3i|=β, με β>0
Ξεκιναμε απο την εξισωση του κυκλου και προσδιοριζουμε το κεντρο του |z+1-3i|=β => |z-(-1+3i)|=β , δηλαδη το κεντρο του κυκλου ειναι το Κ(-1,3) (βλ. θεωρια σχολικου βιβλιου για το πως βρηκα το κεντρο του κυκλου)
Αρα το σχημα μεχρι τωρα εχει ως εξης (Πρωτο σχημα)
Η εξισωση της μεσοκαθετου (την ονομαζω ε ) του ΑΒ ειναι y-yo=λε * (χ-χο) (1) (οπου λε ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας ε)
Το ευθυγραμο τμημα ΑΒ ανηκει στην ευθεια Cα (αφου ως δεδομενα δινει Α ε Cα και Β ε Cα ) αρα εχουν τον ιδιο συντελεστη διευθυνσης με αυτη. Δηλαδη λΑΒ= λCα=-1 . ομως οπως γνωριζουμε απο την δευτερα λυκειου, οταν δυο ευθειες ή ευθυγραμμα τμηματα ειναι καθετα μετξυ τους τοτε εχουν αντιθετοαντιστροφους συντελεστες διευθυνσης. Δηλαδη ισχυει λΑΒ * λε= -1=> ...=>λε=1
Επισης η ασκηση λεει οτι το κεντρο Κ του κυκλου διερχεται απο τη μεσοκαθετο του ΑΒ, αρα οι συντεταγμενες του επαληθευουν την εξισωση της μεσοκαθετου του ΑΒ. Μετα απο αυτα η σχεση (1) γινεται y-yk=1*(x-xk) =>...=>y=x+4 (η εξισωση της μεσοκαθετου του ΑΒ και στην ουσια η ευθεια ε)
Οπως φαινεται απο το δευτερο σχημα η ευθεια ε περναει απο το μεσο Μ του ΑΒ (λογικο αφου ειναι η μεσοκαθετοςς του). Το σημειο Μ επαληθευει δυο εξισωσεις. Αυτη της ευθειας ε και της ευθειας Cα. Λυνοντα το συστημα των δυο εξισωσεων θα βρουμε τις συντεταγμενες του Μ.
y=x+4
y= -x+1 ...
Αν το λυσεις τοτε βγαινει Μ( -3/2, 5/2)
Ξαναλεω οτι το Μ ειναι το μεσο του Αβ οποτε ισχυει Μ( (x Α+xB )/2 , (yA+yB)/2 ) .Απο εκει περα εχω (x Α+xB )/2 = -3/2 (το εχω βρει απο πανω) =>...=>xΒ= -5/2 και ομοια βγαινει οτι yΒ= 7/2
Επομενως οι συντεταγμενες του ζητουμενου Β (βλ. σχημα 3) ειναι Β(-5/2, 7/2) (ο Μπαρλας συμφωνει μαζι μου)
Οσον αφορα το τελευταιο υποερωτημα. Ζητα την ακτινα του κυκλου (το β ) με κεντρο το Κ ετσι, ωστε ο κυκλος να εφαπτεται στην ευθεια Cα. Αν δεις απο το σχημα με τον αθλιο κυκλο θα παρατηρησεις οτι στην ουσια ζητα το ευθυγραμο τμημα ΜΚ αφου μονο τοτε (αν δηλαδη β=ΜΚ ) ο κυκλος εφαπτεται στη Cα.
ΜΚ= =...= /2
Ελπιζω να βοηθησα και να ειναι το σωστο θεμα !
Αυτα ειναι τα σχηματα
Γεια σας παιδια...μπορει κανεις να με βοηθησει στα θεματα 11(σελ.354) και 4(σελ 352) του μπαρλα τευχος Α?(δεν μπορω να γραψω ριζες και τετραγωνα στον υπολογιστη) οποιος εχει το βιβλιο και γνωριζει ας με βοηθησει...Ευχαριστω!
Θεμα 11 Μπαρλας σελιδα 354
α) Λυνεις την εξισωση κανονικα με διακρινουσα κτλ .Βγαινει Δ= -4(ημθ)^2 <0 για καθε θ ε (0,2π) (Αυτος λεει να λυθει για καθε θ ε [0,2π) αλλα δεν ξερω τι να κανω αν θ=0 αφου βγαινει Δ=0) και Z1= συνθ+iημθ , Z2=συνθ-iημθ
β) Απο εδω και περα δεν ειμαι σιγουρος και θα γραψω πως θα το ελυνα εγω...
Για να βρισκονται οι εικονες των Ζ1,Ζ2 στον μοναδιαιο κυκλο θα πρεπει οι συντεταγμενες τους να βρισκονται μεταξυ του -1 και του 1 (αν σχηματισεις ενα μοναδιαιο κυκλο τοτε θα δεις γιατι αυτα τα νουμερα)
Εστω Β,Γ οι εικονες των Ζ1,Ζ2 αντιστοιχα, με Β(Χ1,y2) και Γ(Χ2,y2). Για να ανηκουν το Β στο μοναδιαιο κυκλο πρεπει να ισχυει:
-1<=Χ1<=1 και -1<=y1<=1 => (ομως Χ1=συνθ και y1=ημθ)
=> -1<=συνθ<=1 και -1<=ημθ<=1 που ισχυουν για καθε θ ε [0,2π)
Αρα το Β , δηλαδη η εικονα του Ζ1 ανηκει στον μοναδιαιο κυκλο.
Ομοιως αποδεικνυεις οτι το Γ δηλαδη η εικονα του Ζ2 ανηκει στον μοναδιαιο κυκλο.
γ) οι εικονες των Ζ1,Ζ2 κινουνται στον μοναδιαιο κυκλο οπως αποδειξαμε παραπανω για καθε τιμη του θ ε [0,2π) . Δηλαδη αναλογα με το ποια τιμη εχει το θ ο Ζ1 και ο Ζ2 εινα διαφορετικοι. Το ζητουμενο του ερωτηματος ειναι να βρεις την τιμη του θ για την οποια το |Ζ1-Ζ2| παιρνει τη μεγιστη τιμη.
! θυμιζω οτι το μετρο της διαφορας δυο μιγαδικων ειναι ισο με την αποσταση των εικονων τους (βλ. σελιδα 98 σχολικου βιβλιου)
Ισχυει δηλαδη |Ζ1-Ζ2|= (ΒΓ)
Αρα επι της ουσιας ζητα να βρουμε για ποια τιμη του θ το ΒΓ ειναι μεγιστο.
!θυμιζω οτι σε ενα κυκλο η μεγιστη αποσταση που μπορουν να εχουν δυο σημεια ειναι 2ρ=δ (οπου ρ η ακτινα και δ η διαμετρο του κυκλου)
Και αφου ο κυκλος ειναι μοναδιαιος τοτε ρ=1 ,αρα δ=(ΒΓ)max=2
Επομενως πρεπει να λυσω την εξισωση |Ζ1-Ζ2|= (ΒΓ)max =>|Ζ1-Ζ2|=2 => |συνθ+iημθ-συνθ+iημθ|=2 => |iημθ|=1 =>|ημθ|=1 που ισχυει θ=π/2 ή θ=3π/2 (σε rad)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Συνημμένα
Αυτο εννοει, παντως απο το αρχικο ποστ δεν εβγαινε αυτο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν f^(-1) ειναι γνησιως αυξουσα.
Εστω χ1,χ2 ε Δ (Π.Ο της f ) με x1<x2 ισχυει f^(-1)[f(x1)] < f^(-1)[f(x2)] <=>f(x1)<f(x2) , (οι αντιστροφες φευγουν γιατι f^(-1) ειναι γνησιως αυξουσα)
Αρα η f ειναι γν. αυξουσα .
Αν η f^(-1) ειναι γνησιως φθινουσα.
Ομοιως.
Επομενως μια συναρτηση f με Π.Ο το Δ εχει την ιδια μονοτονια με την αντιστροφη της.
Υ.Γ: Τα παραπανω ειναι στην περιπτωση που η αντιστροφη ειναι γν. μονοτονη και οχι απλα μονοτονη. Υποθετω οτι αν η αντιστροφη ειναι απλως αυξουσα ή φθινουσα τοτε λες : Εστω χ1,χ2 ε Δ με χ1<=χ2 κοκ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1) Χρησιμοποιώ την (1) αφού αντικαθιστώ το x² + y² στην θέση του 4 (και απλώς έκανα αμέσως τις πράξεις)
νομιζα οτι χρησιμοποιησες τη (2) και εκανες αμεσως τις πραξεις.Βγαινει το ιδιο και γι αυτο δεν κοιταξα καν την περιπτωση να αντικατεστησες το 4. Τεσπα μια χαρα..Ο Μπαρλας να τα βλεπει!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Κατ' εμε σωστοτατο! Αποψη μου ειναι πως αν καποιος παει απο αυτο το δρομο θα πρεπει:Θέτω , όπου x,yER !
Αφού τότε ισχύει (1) <=> (2)
Πολλαπλασιάζω την (1) επι 4
(3)
Οπότε,η μέγιστη τιμή του , θα είναι όταν . Άρα, η μέγιστη τιμή του θα είναι
1) Καλος ελεγχος μετα το γραψιμο γιατι προφανως θελει προσοχη
2)Καλη επεξηγηση (οπως και εκανες) για αυτον που θα το διορθωσει...
Λεπτομερειες:
1)Στην δευτερη σειρα της λυσης σου λες οτι χρησιμοποιεις την σχεση (1) (οπως την εχεις ορισει παραπανω) αλλα επι της ουσιας χρησιμοποιεις την σχεση (2)
2) Στην τελευταια σειρα τηςς λυσης σου καπου βαζεις (3). Ποια σχεση εχεις ορισει ως (3) ; Αμεσως μετα αντικαθιστας ψ^2=4-χ^2.Αυτη εχεις ορισει ως (3) ή εκεινη την στιγμη οριζεις καποια σχεση ως (3) ;;;(ελπιζω να καταλαβες τι εννοω)
Μου κανει εντυπωση γιατι κι εγω αυτη την εκδοση εχω αλλα δεν υπαρχει τετοιο ερωτημα. Αν το βιβλιο σου βγηκε πιο πριν απο το διικο σου τοτε ενδεχομενως να ειδε το λαθος και να το εβγαλε απο τα επομενα αντιτυπα!Απριλιος 2009
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πω δε φτανει που εχει εναν ξερο αριθμο απαντηση , ειναι και λαθος!
ποια ακριβως ειναι η εκδοση σου. Μηνα και χρονο πες μου. . .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
που έχει στις λύσειςως προς τι ο γέλωτας?
οι αντικαταστάσεις πάντα με βόλευαν..όπως βολεύεται ο καθένας.
Δεν γελαω με τα γραφομενα σου ή με την λυση σου. Αν παρατηρησεις σε μια απο τις προηγουμενες σελιδες της λεω οτι υπαρχει πιθανοτητα η λυση του Μπαρλα να ειναι λαθος και γι αυτο ολοι να μην βρισκουν την λυση του...Αυτο! (δεν πηγαινε σε σενα απλα γελαω γιατι το βοηθημα του ειναι καλο αλλα σε αυτο τον τομεα εχει κανει πολλα λαθη και ουκ ολιγες φορες εμενα προσωπικα μου ηρθε να το πεταξω απο το παραθυρο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Οχι ριζα 17 βγαινει
Κάνω το εξης |z²+z-4|=|z²+z-zzσυζυγης| (αφου |Ζ|=2 αρα και Ζ²=4 => zzσυζυγης=4)
μετα |z||z+1-zσυζυγης|=2|2yi+1| (αν z=x+yi) και λεω για να παρει το μετρο |2yi+1| μεγιστη τιμη πρεπει ψ=2 οποτε θα ειναι 2ριζα17
Τι κανω λαθος;
Κατερινα αν υποθεσουμε οτι αυτη ειναι μια σωστη λυση του ερωτηματος τοτε νομιζω οτι η φραση "για να παρει το μετρο |2yi+1| μεγιστη τιμη πρεπει ψ=2" δεν ειναι τελειως σωστη διοτι και με ψ= -2 το απολυτο παιρνει την μεγιστη τιμη του.
Αρα "για να παρει το μετρο |2yi+1| μεγιστη τιμη πρεπει ψ=2 ή ψ= -2. Σε καθε περιπτωση το αποτελεσμα ειναι |2yi+1|"
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
αν είναι μπάρλας παίζει ν είναι λάθος το αποτέλεσμα.
ΑΧΑ!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν |z|=2 ποια ειναι η μεγιστη τιμη του |z²+z-4|; Εγω το βρισκω 2*ριζα17 αλλά ειναι λαθος Γιατι;
Για να λες οτι ειναι λαθος σημαινει οτι εχεις δει την σωστη απαντηση..Γινεται να πεις ποια ειναι η σωστη;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Λοιπον, παραθετω την προσπαθεια μου και αν τη δεις μου λες...Να βρεθει η συνεχης συναρτηση f:R-->R με την ιδιοτητα:
f(x)+√(x²+x+2)=1+x[f(x)+1] για καθε χΕR
Κανω επιμεριστικη ιδιοτητα μετα λυνω ως προς F(x) και μετα δεν ξερω τι αλλο πρεπει να κανω...
καμια βοηθεια?
f(x)+ =1+xf(x)+x =>
f(x)(1-x)=1+x-
x 1 εχω f(x)==1+=...=1+ (αυτο προεκυψε απο πολλαπλασιασμο της συζηγης παραστασης στο κλασμα)
=1- (1) (αυτο προκυπτει αν κανει καποιος Horner στον αρηθμητη και ανεβασει το (-) )
Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο Π.Ο της που ειναι το ΙR αρα ειναι συνεχης και στο χ=1 .Επομενως ισχυει f(1)=limf(x) με το x->1 .Αυτο το οριο βγαζει αποτελεσμα -1/4
οποτε ο τυπος της συναρτησης f με Π.Ο το IR ειναι : f(x)= (κλαδικη) με f(x)=1- (απο σχεση (1) ) για x1 και με -1/4 οταν x=1
Θεωρω πως το ''θετω x=f(x)'' ειναι το ιδιο με το '' θέτω όπου χ το f(x)'' ,απλα το δικο σου μου αρεσει πιο πολυΕγώ προσωπικά δεν γράφω "θέτω f(x)=x" αλλά "θέτω όπου χ το f(x)"
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εγώ πάντως είχα κολλήσει εδώ μετά τι κάνω? Btw ευχαριστώ
ισχυει |χ+yi|=τετραγ. ριζα του (χ^2 + y^2) και οχι τετρ. ριζα του (χ^2+y^2*i^2) (θεωρια βιβλιου)
οποτε συμφωνα με τον δικο σου τροπο : z=|z|+|z|^2i <=> |z|=(ριζα)|z|^2+(|z|^4=(ριζα)|z|^2 (1+|z|^2) =|z|(ριζα)1+|z|^2
αρα εχω -|z| + |z|(ριζα) =0 => |z|[-1+(ριζα)1+|z|^2]=0 |z|=0 ή -1+(ριζα)1+|z|^2=0 =>...=>|z|=0
Αν καταλαβεις πραμα σφυρα μου!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Εγώ πάντως είχα κολλήσει εδώ: z=|z|+|z|^2i <=> |z|=(ριζα)|z|^2+(|z|^4i^2) μετά τι κάνω? Btw ευχαριστώ
το i δεν εχει δουλεια μεσα στη ριζα.(ετσι νομιζω)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
επισης γραφεις τετραγωνθκη ριζα του (χ^2) ;;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σε πολλές ασκήσεις, περισσότερο όταν ανακατεύουν σύνθεση, βλέπω το εξής: Θέτω χ=f(x)
πχ σε αυτήν του Μπάρλα : Αν f:R-R και ισχυει f(f(x))=3x +4(1) για κάθε χ€R, να δείξετε ότι f(3x+4)=3f(x) +4
Λύση: Θέτω χ=f(x) οπότε η (1) γίνεται f(f(f(x)))=3f(x) +4 <=> f(3x+4)=3f(x) +4
Δεν θα ήταν πιο σωφρον να λέγαμε: θέτω y=f(x) για να μην έχουμε παρεξηγήσεις του τύπου «η χ=f(x) είναι τύπος συνάρτησης»;
Δηλαδή να κάνουμε τη δήλωση της εξαρτημένης μεταβλητής με γράμμα διαφορετικό του x, που δηλώνει ανεξάρτητη;
Ελπίζω να καταλάβατε τι έγραψα, γιατί όπως τα έγραψα δεν τα καταλαβαίνω ούτε εγώ σε 2η ανάγνωση.
εχεις την σχεση f(f(x))=3x+4 Αν θεσεις y=f(x) τοτε η σχεση σου θα γινει f(y)=3x+4 (ή νομιζω f(y)=f^-1(y)+3 αν η f ειναι 1-1)
Θες μεσα στο ορισμα της πρωτης f να δημιουργησεις το f(f(x)) , ωστε να βγει f(f(f(x)))=3f(x)+4=>f(3x+4)=3f(x)+4 (αφου σου δινει σαν δεδομενο οτι f(f(x)))=3x+4 )
.Γι αυτο το λογο θετεις x=f(x) και οχι καποια αλλη μεταβλητη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αν f,g είναι γν.αύξουσες στο Δ,f(x)>0,g(x)>0 να δείξετε ότι 1/f + 1/g είναι γν.φθήνουσα. Φτάνω ως το σημείο που 1/f(x1) + 1/g(x1)>1/f(x2) + 1/g(x2) και μετά δεν ξέρω πώς να το εκφράσω...Βοήθεια?
Θετω κ(χ)=1/f(χ)+1/g(χ), χ ε Δ (ισχυει f(χ)>0 και g(χ).0 για καθε χ ε Δ)
Εστω χ1,χ2 ε Δ . Ισχυει :
f(χ1)<f(χ2)<=>1/f(χ1)>1/f(χ2) (1)
g(χ1)<g(χ2)<=>1/g(χ1)>1/g(χ2) (2) (οι αρχικες ανισωσεις ισχυουν γιατι f,g ειναι γν. αυξουσες στο Δ)
Προσθετοντας τις (1) και (2) εχω: 1/f(χ1)+1/g(χ2) > 1/f(χ1)+1/g(χ2) <=> Κ(χ1)>Κ(χ2)
οποτε η Κ(χ) ειναι γν. φνινουσα στο Δ.
Εγω ετσι θα το ελυνα... (αν το ελυσα )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
1) ανεβαζεις τον παρανομαστη πανω, σπας το -x^5 σε χ^3 και -x^2 ..Τωρα αν παρατηρησεις θα δεις οτι ειναι ολοκληρωση κατα παραγοντες
2) Ανεβασε τον παρανομαστη πανω και παλι θα δεις οτι μπορεις να κανεις ολοκληρωση κατα παραγοντες
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Όσο για το πρώτο που ξέρεις ότι οι ρίζες είναι πάντα συζυγείς μιγαδικοί?
σελ. 92 σχολ. βιβλιο στην περιπτωση Δ<0 μεχρι πριν το παραδειγμα..Αυτος ειναι κανονας οπως και οτι το βιβλιο ειναι απαραιτητο για πανελληνιες..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μπορει μια συναρτηση να ειναι συνεχης σε ενα Χο του Π.Ο της και να μην ειναι παραγωγισιμη σε αυτο..Το αντιθετο δεν μπορει να ισχυει...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.