mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για το 2ο με λίγη γεωμετρία νομίζω προκύπτει απλά.
-Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Έχω μια απόδειξη με majorization inequality . Έχεις καμιά πιο στοιχειώδη υπόψη σου ;
Βρήκα και μια ακόμη τώρα πάνω στο πόδι
Γράφεται και :
Όμως από Νόμο Συνημιτόνων ισχύει :
και κυκλικά για τα άλλα.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι :
Ή
Που ισχύει, διότι :
που ισχύει .
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Κατά τα άλλα , ισχύει ...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Θα πεις οτι για να ειναι ε1//ε2 αρκει λε1=λε2!
Μετά είναι το ζουμί
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Γίνεται μέγιστη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
δεν υποχρέωσα κανέναν να λύσει την άσκηση. Την έβαλα για κάτι το διαφορετικό, να τη δει αν κάποιος θέλει, να ψαχτεί. Όποιος δε θέλει μπορεί να συνεχίσει απλώς το browsing της σελίδας.
Φιλικά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
(Αφού μπορείς να βρεις εξίσωση διαμέσου, μπορείς να βρεις γωνία από νόμο συνημιτόνων, μετά το να βρεις τη συμμετρική της διαμέσου ως προς διχοτόμο δεν είναι δύσκολο)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
https://mathworld.wolfram.com/SymmedianPoint.html
Θα το καταλάβεις καλύτερα!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δίνεται τρίγωνο με γνωστές συντεταγμένες πλευρών. Να βρεθεί το σημείο Lemoine του τριγώνου, συναρτήσει των συντεταγμένων που έχουν δοθεί.
ΥΣ: Σημείο Lemoine είναι το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων σε ένα τρίγωνο. Συμμετροδιάμεσος: Η ευθεία που 'ναι συμμετρική της διαμέσου ως προς την αντίστοιχη διχοτόμο του τριγώνου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Για την άλλη, θα προτείνω μια καλή νομίζω λύση..
Καταρχήν, τα ύψη δεν ικανοποιούν το Δ, άρα το ύψος που διέρχεται από το Δ, έχει άλλη εξίσωση. Βρίσκουμε το σημείο τομής των υψών που μας δίνονται. Άρα και το τρίτο ύψος περνάει από εκείνο το σημείο (ορθοκεντρική τετράδα). Άρα ξέρουμε όλους τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών του τριγώνου..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Eίμαι στη φάση των σειρών τώρα. Αν μπλέξω και θεωρία αριθμών θα τα κάνω αχταρμά
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Πρόσεξε ότι το πρώτο μέλος είναι πάντα μεγαλύτερο ίσο του 2 ενώ το δεύτερο μικρότερο ή ίσο (πολλαπλασίασε με 2 και διαίρεσε με 1/2 για να το φέρεις στη μορφή ημ(α-β))
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Αντιπαράδειγμα:
Αν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Το είναι πραγματικός αριθμός. Για ποια τιμή του οι ευθείες είναι παράλληλες;
Υπενθύμιση: cos = συν και sin = ημ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:
Έστω ένας πρώτος αριθμός. Αν , τότε να δειχθεί ότι .
-----------------------------------------------
Για τη λύση χρησιμοποιείς το κριτήριο του Wolstenholme, το οποίο λέει:
Εάν πρώτος με , τότε ο αριθμητής του κλάσματος , διαιρείται από το .
Ε, μετά η άσκηση απλουστεύει
Ευχαριστώ τον φίλο Αλέξανδρο Συγγελάκη (Hellenic Mathematical Society trainer) για το feedback :no1:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Τώρα επειδή από την υπόθεση ισχύει , ψάχνουμε πότε ισχύει η ισότητα.
Θύμησέ μου λίγο την αρχική άσκηση όμως, γιατί την έχω ξεχάσει και το ποστ σου έχει σβηστεί!
Δες και μία άλλη θεωρία αριθμών:
Έστω ένας πρώτος αριθμός. Αν , τότε να δειχθεί ότι .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
1η Λύση
Για α=β=1, δεν ισχύει...
επομένως
Από εδώ προκύπτει όμως ότι
Η ισότητα ισχύει αν
2η Λύση
Έστω με
Τότε υπάρχουν ακέραιοι, θετικοί, τέτοιοι ώστε
με
Έχουμε δλδ:
Δηλαδή
Άρα
Δηλαδή:
Παρομοίως
Άρα
Όμως
Άρα
Έτσι προκύπτει ότι
Δηλαδή:
Από εδώ ή . Για όμως έχουμε άτοπο. Άρα .
Δηλαδή τελικά:
and we are done
EDIT:
Δεν είδα ότι μιλούσες για θετικούς ακέραιους στο προηγούμενό σου post, για αυτό και τώρα έκανα edit το post μου.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
Η αποδειξη:
2κ*2μ προφανες
2κ*(2μ+1)=2(2κμ+κ)
qed.
Αρα εχεις περιττος - αρτιος .
Και ειμαι ο mostel
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
ποιός μπορεί να λύσει στους ακέριαιους την εξίσωση : 12x + κ*κ - κ = 333 ;
Πρόσεξε ότι:
(αφού περιττός - άρτιος = περιττός)
Όμως (γινόμενο δυο διαδοχικών αριθμών πάντα άρτιος). Έτσι έχουμε περιττός = άρτιος , αρά δεν έχει λύσεις στο .
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.